Пересечение двух плоскостей

В этой позиционной задаче общим элементом данных геометрических объектов является прямая линия. Её можно построить двумя способами: с помощью плоскостей-посредников частного положения, одновременно пересекающих обе данные плоскости и способом на основе пересечения прямой линии с плоскостью.

Пример построения линии пересечения двух плоскостей способом секущих плоскостей посредников представлен на рисунке 1.3.25. Плоскость S определяется пересекающимися прямыми а и b, а плоскость Q – параллельными прямыми с и d.

Для нахождения линии l пересечения плоскостей S и Q проведём две фронтально проецирующие плоскости W (W₂) и W¢ (W¢₂), являющиеся посредниками. Плоскость W пересекает данные плоскости S и Q по прямым линиям 1-2 (1₂-2₂, 1₁-2₁) и 3-4 (3₂-4₂, 3₁-4₁). Точку пересечения этих прямых обозначим через К (К₁, К₂). Точка К принадлежит одновременно трём плоскостям S, Q, W. Следовательно, точка К принадлежит линии пересечения плоскостей S и Q. Плоскость W¢ пересекает плоскости S и Q по прямым линиям 5-6 (5₁-6₁, 5₂-6₂) и 7-8 (7₁-8₁, 7₂-8₂). Точкой пересечения этих линий является точка К¢. Она, как и точка К принадлежит линии пересечения плоскостей S и Q. Следовательно, прямая l, проходящая через точки К и К¢, есть искомая прямая пересечения данных плоскостей S и Q.

Рисунок 1.3.26 – Пересечение двух плоскостей общего положения

На рисунке 1.3.26 представлен пример построения линии пересечения двух плоскостей способом пересечения прямой линии с плоскостью. Плоскости заданы треугольниками АВС и EGF. Вспомогательные секущие плоскости S (S₂) и S¢ (S₂) проведены через стороны EG и ВС треугольников. Плоскость S (S₂) пересекает треугольник АВС по прямой 1-2. Точка К является результатом пересечения прямых EG и 1-2. Плоскость S¢ (S¢₂) пересекает треугольник EGF по прямой 3-4. Точка К¢ является результатом пересечения прямых ВС и 3-4. Точки К и К¢ ограничивают отрезок искомой линии пересечения, находящийся в пределах обоих треугольников.

Относительная видимость треугольников определена на фронтальной проекции с помощью конкурирующих точек 2 и 4, из которых точка 4 стороны EG закрывает собой точку 2 стороны ВС. Видимость на горизонтальной плоскости проекций определена с помощью конкурирующих точек 5 и 6, из которых точка 6 стороны EG закрывает собой точку 5 стороны АС.