Метод простых итераций

Для реализации этого метода функцию f(x) = 0 надо представить в виде x_i+1 = φ(x_i). Выбрав начальное приближение x₀ внутри выбранного интервала локализации корня. Дальнейшие вычисления ведут по формуле

x_i+1 = φ (x_i), i = 0,1,2...до выполнения условия прекращения итерации

|x_i+1 - x_i| < e

Для сходимости итерационного процесса обязательно выполнение условия – максимальное значение производной исходной функции меньше единицы |f^' (x)|_max < 1 на интервале изоляции корня, иначе процесс расходится. Для выполнения этого условия φ(x) формируется следующим образом.

Умножим f(x) на постоянное число – α, тогда - f(x)·α=0, а затем к обеим частям прибавим x

x + f(x)·α = x т.е.

x = x - f(x)·α, значит

φ(x)= x - f(x)·α, тогда вычисления ведутся по выражению

x_i+1 = x_i - f(x_i)·α, а α выбирается из соотношения | φ^¢(x)| = |1- α f^¢ (x)| £ 1 на интервале изоляции корня.

ПРИМЕР 2 Найти действительный корень уравнения x³ –x² +1=0 на интервале [-1,0].

Выражение для итераций x_i+1 = x_i – α(x³_i –x²_i +1). Для определения величины α найдем f^¢ (x).

f^¢ (x)=3x²-2x, | f^¢ (x)|_max = 5, для выполнения условия примем α=0.3, тогда итерации вычисляются по выражению

x_i+1 = x_i – 0.3(x³_i –x²_i +1)

Примем в качестве x₀ = - 0.5 – середина интервала

x ₁= -0.5- 0.3(-0.5³- (-0.5²) +1)= - 0.6875

x ₂= - 0.6875- 0.3(- 0.6875³- (- 0.6875²) +1)= - 0.7482

x ₃= - 0.7482- 0.3(- 0.6875³- (- 0.6875²) +1)= - 0.7546

x ₄= - 0.7546- 0.3(- 0.7546³- (- 0.7546²) +1)= - 0.7548

После четвертой итерации | x_i+1 - x_i |= |- 0.7548 + 0.7546|= 0.0002, что вполне допустимо.

Для решения системы нелинейных уравнений существует несколько методов, но чаще используют метод простой итерации и метод Ньютона.

Суть метода покажем на примере решения двух нелинейных уравнений

¦(x,y) = 0;

j(x,y) = 0,

где функции ¦(x,y) и j(x,y) – непрерывно дифференцируемые в области D, содержащей единственное решение x = x^*, y=y^*.

Если выбрано начальное приближение x⁰ и y⁰, то по методу Ньютона следующие приближения вычисляются по следующим выражениям.

где (3.3)

(3.4)

(3.5)

В качестве критерия окончания итерационного процесса можно выбрать условие

< e (3.6)

или |x_i+1 - x_i| < e_x; |y_i+1 - y_i| < e_y

Метод легко обобщается на большее число уравнений.