Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теория пределовОсновные понятия и свойства:
Определение 1: Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1,2,3,…, п,… поставлено в соответствие вещественное число хn, то множество вещественных чисел х1, х2 … хn, … называется числовой последовательностью.
Определение 2: Число а называется пределом числовой последовательности yn, если для любого положительного числа э найдется такое натуральное число N(номер члена последовательности), что при всех последующих номеров п выполняется неравенство: | yn – a |< э. Lim (Yn) = a
Определение 3: Последовательность (Х п) называется ограниченной, если существуют два числа m и M такие, что каждый член последовательности принимает значения не меньшие m и не большие M. Если существует лишь одно из этих чисел, то последовательность ограничена либо сверху (существует только M), либо снизу (существует только m).
Определение 4: Последовательность (Х п) называется бесконечно большой, если для любого положительного числа э (сколь большим бы мы его ни взяли) cуществует номер N такой, сто при всех n > N выполняется неравенство: |Х п | > э. Lim (Xn) = 00
Определение 5: Последовательность (У п) называется бесконечно малой, если для любого положительного числа э (сколь угодно малого) существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство: |Уn| < э. Lim (Yn) = 0
Основные свойства пределов: 1) lim (X + Y + Z) = limX + limy = limZ 2) lim (XYZ) = limX * limY * limZ 3) lim (X/Y) = (lim X)/(limy) 4) lim (cX) = c limX (с – постоянный множитель) n n 5) lim (X) = (limX)
Определение 6: Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению х, взятому из области определения, ставится в соответствие по определенному правилу единственное значение у.
Определение 7: Число b называется пределом функции f(x) при х стремящемся к а, если для любого э > 0 найдется такое б > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию | x – a| < б выполняется неравенство |f(x) – b| < э. Lim f(x) = b x a (т.е. число b называется пределом функции f(x) в точке а, если для всех х, -10- достаточно близких к а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от b.
Определение 8: Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого э >0, найдется число М > 0, что для всех |x| > M выполняется неравенство | A – f(x)| < э. Lim f(x) = A X 00 (т.е. число А называется пределом функции y = f(x) на бесконечности (или при х, стремящемся к бесконечности), если для всех достаточно больших по модулю значений аргумента х соответствующие значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от А.)
Свойства бесконечно малых (0) и бесконечно больших (оо) величин: 0 + 0 = 0 оо + оо = оо неопреднленности: с + 0 = с оо + с = оо 0×оо 0 × 0 = 0 оо + 0 = оо 0/оо с × 0 = 0 оо × оо = оо оо/0 0/с = 0 оо × с = оо оо/оо с/0 = оо оо/с = оо 0/0 с/оо = 0
Замечательные пределы:
1) lim (sin x)/ х = 1 2) lim (1 + 1/ x)x = е х 0 x oo оо, если степень P(x) больше степени Q(x) 3) lim P(x)/Q(x) = 0, если степень P(x) меньше степени Q(x) c1/с2, если степень P(x) равна степени Q(x)
P(x) и Q(x) – многочлены, с1, с2 – коэффициенты при одночленах с большей степенью.
Определение 9: Функция f(x) называется непрерывной в данной точке а, если ее предел в точке а существует и равен значению функции в этой точке, т.е. если Lim f(x) = f(x) x a Достаточное условие непрерывности функции в точке: Функция непрерывна в точке а, если ее предел слева равен пределу справа в этой точке, т.е. lim f(x) = lim f(x). х а – 0 х а + 0 Определение 10: х0 называется точкой разрыва 1-го рода, если функция f(x) имеет конечные пределы слева и справа в этой точке. Во всех остальных случаях х0 – точка разрыва 2-го рода.
-11- ЗАДАЧИ:
1. Найти пределы: а) lim (x2 – 7x +4); б) lim (x2 + x + 2) / (x2 + x + 1); в) lim x + 5, x 0 x 1 x -5
г) lim 5 / (х -1); д) lim (x2 + 3) / 7; е) lim 12 / (5 – х) х 1 х оо х оо
ж) lim (x2 + x) / 23; з) lim (x3 + 1) / (х – 2); и) lim (x + 6) / х x oo х 2 х -6
2. Вычислить пределы: а) lim (x2 – 6x + 9) / (x2 – 3x); г) lim (x – 1 - 2) / (x – 5) x 3 x 5 б) lim (x2 – 5x + 6) / (х – 2); д)lim (x + 2 - 1) / (x + 1) х 2 x -1 в) lim (x2 + 2x) / (х2 – 4); е) lim x + 1 - x х -2 x oo
3. Найти пределы: а) lim (x4 – 3) / (x2 + 5x); ж) lim (5x3 + x – 1) / (2x3 + 5x2); x oo x oo б) lim (2x3 – x + 5) / (3x3 + 7x + 1); з) lim (x2 + 4) / x; x oo x oo
в) lim (x3 + 3x) / (6 + x – x7); и) lim (x2 – 2x4) / x2; x oo x oo г) lim (x4 – 2x7) / (x7 – 3x5); к) lim (5x + cos x) / x; x oo x oo
д) lim (x2 + 8x – 1) / (x5 + 7x3 + 11); л) lim (cos 2x – 6x) / (2x + 5); x oo x oo
e) lim (4x3 + x2 – 2) / (3x2 + 5x – 2); м) lim (x2 – cos 2x) / (4 – x2). x oo x oo
4.Найти пределы: a) lim (sin 2x) / x; г) lim (sin 5x) / 3x; x 0 x 0
б) lim (sin x) / (3x); д) lim (sin 3x) / (sin 7x); x 0 x 0
в) lim (sin 17x) / 8x е) lim (tg 2x) / x. x 0 x 0
-12- 5. Вычислите пределы: x 2x а) lim (x / (x + 1)); г) lim ((x + 2) / x); x→ ∞ x → ∞ x 3x б) lim (1 + 5/x); д) lim (1 + 2/(3x)); x→ ∞ x → ∞ 3x 5x² в) lim (1 + 2/x); е) lim ((x³ - 2x)/ x³). x → ∞ x → ∞
6. Исследовать функцию на непрерывность:
а) y = (x + 2) / (x – 3); е) y = x + 1, при х ≥ 2 х – 1, при x < 2. б) y = lnx / (x - 5); ж) y = 2 – x, при х < 1 г) y = x / (x + 1); lg x, при x ≥ 1.
x д) y = √ x – 2 / (x + 7); з) y = (1/2), при х ≤ -1 2, при x > -1
и) y = 5 - x², при х ≥ 1 х + 3, при х < 1
к) y = 1/x, при x ≥ -1 x ², при x< -1
л) y = 2/x + 1, при x ≥ 2 x³ - 6, при x < 2
м) y = x / (x² - 1), при x < 2 lg (x – 1), при x ≥ 2
-13-
|