Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Линейная алгебра
Основные понятия и свойства:
Определение 1: Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.
Определение 2: Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны.
Определение 3: Суммой матриц А и В называется такая матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Определение 4: Произведением матрицы А на число к называется такая матрица каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на число к.
Определение 5: Произведениемдвух матриц А и В называется такая матрица, каждый элемент aij которой находится следующим образом: каждый элемент строки i умножается на соответствующий элемент столбца j и полученные произведения складываются.
Свойства арифметических действий над матрицами:
1) А + В = В + А 5) АВ = ВА
2) (А + В) + С = А + (В + С) 6) А(ВС) = (АВ)С
3) А + 0 + А
4)А + (- А) + 0 7) (А+В)С = АС + ВС
Определение 6: Пусть дана квадратная матрица второго порядка а11 а12
Определителем (или детерминантом) а21 а22
второго порядка, соответствующим данной матрице называется число:
D = а11а22 – а12а21.
Определение 7: Пусть дана квадратная матрица а11 а12 а13
третьего порядка: А = а21 а22 а23
а31 а32 а33
Определителем (или детерминантом) третьего порядка называется число:
Det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – a13a22a31 – a23a32a11 – a12a21a33.
Основные свойства определителей:
1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать).
2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный.
3) Общий множитель строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.
4) Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцам (или пропорциональными) равен нулю.
-5-
5) Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.
Определение 8: Минором Мij соответствующего элемента определителя называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.
Определение 9: Алгебраическимдополнением элемента аij определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1) в степени (i + j), где i и j – номера строки и столбца на пересечении которых стоит данный элемент.
i+j
Аij = (-1) Мij.
Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца:
Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю.
D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin
Теорема Крамера:
Система п уравнений с п неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободнах членов.
-1
Алгоритм вычисления обратных матриц 2-го и 3-го порядков (А):
1. Найти определитель матрицы А.
2. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и записать новую матрицу.
3. Транспонировать новую матрицу.
4. Умножить полученную матрицу на 1/D.
Алгоритм решения простейших матричных уравнений АХ = В:
-1
Х = А В
1. Найти матрицу, обратную матрице А.
2. Найти произведение обратной матрицы на матрицу – столбец свободных членов В.
3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.
Задачи аналитической геометрии, решаемые методами линейной алгебры:
1. Уравнение прямой, проходящей через две точи (Х1;У1), (Х2;У2):
Х У 1
Х1 У1 1 = 0
Х2 У2 1
-6-
2. Площадь треугольника с вершинами в точках А(Х1; У1), В(Х2;У), С(Х3;У3).
X1 У1 1
SABC = Х2 У2 1
Х3 У3 1
3. Условие принадлежности трех точек (Х1;У1), (Х2;У2), (Х3;У3) одной прямой:
X1 У1 1
Х2 У2 1 = 0
Х3 У3 1
4. Условие пересечения трех прямых А1х + В1у + С1 = 0, А2х + В2у + С2 = 0,
А3х + В3у + С3 = 0 в одной точке:
А1 В1 С1
А2 В2 С2 = 0
А3 В3 С3
5. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (Х1;У1;Z1), (Х2;У2;Z2),
(Х3;У3;Z3):
| |
X - X1 Y - У1 Z - Z1
Х2 – X1 У2 - Y1 Z2 – Z1 = 0
Х3 – X1 У3 – Y1 Z3 – Z1
ЗАДАЧИ:
1. Сложить матрицы А и В, если:
а) 2 4 -1 3 в) 2 -1 4 1
А = - 1 3 В = 1 -4 А = 3 0 В = -3 -1
5 8 2 3
б) 3 1 0 4 2 -3
А = 2 -7 4 В = 5 7 0 г) А = 1 0 3 2 -1
6 5 2 0 0 1 2 4 8 В = 3 5
0 -8
2. Умножить матрицы из задачи 1 на числа 3; -2; - 1; 5.
3. Найти линейные комбинации матриц:
а) 3А – 2В б) 2А – В в) 2А + 3В – С
2 -4 0 4 -1 -2 1 -1 2
1) А = -1 5 1 В = 0 -3 5 С = 3 -4 2
0 3 7 2 0 -4 -2 1 5
6 -4 0 -1 2 5 -1
2) А = 3 -2 В = -2 5 С = 4 -2 8
-1 5 4 0
-7-
4. Найдите произведение матриц А и В, если:
-1 2
а) А = 3 -1 В = 1 1 б) А = 3 2 1 В = 2 0
1 1 3 1 0 1 2 -3 1
 |
0 -1 2 3 1
в) А = 2 1 1 В = 2 1
3 0 1 1 0
3 7 1
5. Вычислить С = А2 + 2В, где А = 2 -1 В = -7 4
0 35 -3
-1 2
6. Найти 3А* 2В, если В = 2 0 А = 2 -1 0
-3 1 3 2 1
7. Вычислите определители матриц:
| |
а) -1 4 г) 1 2 3 е) 2 3 -4
5 2 4 5 6 5 6 7
7 8 9 8 0 3
б) 3 -1
4 -5 д) 3 2 1 ж) 5 0 0
2 5 3 3 2 0
в) 2 0 3 4 3 0 7 -1
1 -3
8. Решить системы уравнений методом Крамера:
а) 3х – 2у = 5, д) 5х + 3у = 7,
6х - 4 у = 11; 10х – 6у = 2;
б) 5х + 3у = 12, е) 2х – 3у + z = -7,
2х - у = 7; x + 4y + 2z = -1,
x – 4y = -5;
в) 2х + 3у = 7,
4х – 5у = 2; ж) 2x – 7y + z = -4,
3x + y – z = 17,
г) 2х + 5у = 3, x – y + 3z = 3.
4х + 10 у = 6;
9. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:
а) (2;-3), (4;1) б) (-5;-1), (2;3) в) (8;-2), (-4; 1) г) (0; -2), (3;5).
10. Вычислить площадь треугольника, заданного координатами вершин:
а) (1;1), (6;4), (8;2) б) (2;-1), (-5;0), (-1;2).
11. Выясните, принадлежат ли точки одной прямой:
а) (2;1), (-1;0), (5;2) б) (1;2), (0;0), (-2;-1) г) (2;-1), (1;2), (3;2).
-8-
12. Выясните, пересекаются ли прямые в одной точке:
а) 2х – 5у – 1 = 0, х – у = 0, х + у – 1 = 0;
б) х – 2у – 4 = 0, х + у – 1 = 0, у + 1 = 0.
13. При каком значении неизвестной точки лежат на одной прямой:
а) (2;у), (3;1), (-2;4); б) (-1;1), (3;7), (х;0)?
14. При каком значении параметра прямые пересекаются в одной точке:
а) 2х – 3у -1 = 0, 2А – 3у -2 = 0, х – 2у = 0;
б) 5х – Ву – 4 = 0, -х + 5 = 0, х + у – 1 = 0;
в) х + 2у – 3 = 0, 2х + 2у + С = 0, у = 4.
г) х + у + С = 2, у = 1, х = -2?
15. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:
а) (1;1;2), (4;-1;3), (1;-1; -2); б) (-1;-1;-1;), (2;3;1), (-1;2;2)
16. Найдите матрицу, обратную данной:
а) 2 -1 б) 3 -4 в) 1 2 3
1 3 1 2 0 -1 2
3 0 7
17. Решите простей шее матричное уравнение:
 | |||
 | |||
а) 1 2 7 б) -1 1 3
3 4 * Х = 17 2 0 * Х = -2
18. Решите систему уравнений матричным способом:
 |
а) 3х1 – 5х2 = 13, б) 3х1 – 4х2 = -6,
2х1 + 7х2 = 81; 3х1 + 4х2 = 18.
-9-
Date: 2015-09-25; view: 481; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |