Краткие сведения о теории погрешностей

При измерении любой физической величины невозможно определить истинное значение этой величины.

Это связано:

- с несовершенством измерительной аппаратуры

- с не совершенством органов чувств экспериментатора

- с изменчивостью внешних условий (температура, вибрация, движение потоков воздуха)

Разность между измеренным и истинным значениями физической величины называется погрешностью (ошибкой) измерения.

В зависимости от причины возникновения погрешностей их можно разбить на следующие виды:

1) Методические погрешности

Вызываются недостатками применяемого метода измерения, несовершенством теории физического явления, неточностью расчетной формулы. Например, при взвешивании тела на весах не учитываются не одинаковые выталкивающие силы, действующие на тела и на гири.

Методические погрешности могут быть уменьшены при изменении и усовершенствовании метода измерения, при введении уточнений или поправок в расчетные формулы.

2) Приборные погрешности

Вызываются несовершенством конструкции и неточностью изготовления измерительных приборов. Уменьшение приборной погрешности достигается применением более точных (и более дорогих) приборов.

3) Случайные погрешности

Вызываются факторами, не поддающимися учету, например, изменением внешних условий. Уменьшение случайной погрешности достигается за счет многократного повторения измерений. При этом влияние факторов, приводящих к завышению или занижению результатов измерений, может частично скомпенсироваться.

При расчетах рассматриваются:

1) Абсолютная погрешность – это модуль разности между истинным и измеренным значением

.

Зная абсолютную погрешность можно определить интервал, в котором лежит истинное значение измеряемой величины

.

Интервал от до называется доверительным интервалом.

2) Относительная погрешность

которая определяет точность проведенных измерений и абсолютно выражается в процентах. В наших лабораториях .

3) Приборная погрешность.

На шкалах многих электроизмерительных приборов указывается класс точности (0,5; 1; 1,5; 2). Класс точности определяет абсолютную приборную погрешность в процентах от наибольшего значения, которое может быть измерено прибором.

Например, амперметр (класс точности 1,5 со шкалой 300 мА) дает абсолютную погрешность в любом месте шкалы.

Абсолютная приборная погрешность

Если класс точности на приборе не указан, то абсолютную погрешность берут равной половине цены наименьшего деления.

Например, для миллиметровой линейки , для микрометра (цена деления 0,01мм) .

При измерении расстояния погрешности надо учитывать с двух сторон, т.е. для линейки .

При определении (общей или результирующей) абсолютной погрешности учитывают и случайную, и приборную погрешности

.

Физические измерения бывают 2-х видов:

Прямые – измерение физической величины производится непосредственно прибором.

Косвенные – физическая величина рассчитывается по формуле.

Обработка результатов прямых измерений:

1) Производят измерение физической величины раз

2) Находят среднее значение измеряемой величины

2) Находят абсолютную случайную погрешность каждого измерения и среднюю абсолютную погрешность

, ,

.

Принимая во внимание то, каким прибором проводилось измерение, находят и тогда окончательно (общая, результирующая) абсолютная погрешность измерения

.

Если , то и в дальнейших расчетах учитывается (берется) только случайная погрешность.

Если , то и в дальнейших расчетах учитывается (берется) только приборная погрешность

Окончательный результат записывается в виде

(размерность измеряемой величины)

Обработка результатов косвенных измерений:

Пусть физическая величина А связана с несколькими величинами некоторой функциональной зависимостью .

Среди величин могут содержаться непосредственно измеряемые величины, табличные, данные установки, заранее известные. Пусть в результате обработки всех величин, найдены их средние значения и абсолютные погрешности . Тогда результат для косвенно измеряемой величины получают по следующей схеме:

1) Среднее значение рассчитывают по формуле

.

2) По виду функциональной зависимости находим относительную погрешность

После нахождения значения находим абсолютную погрешность

.

Окончательный результат записывают в виде:

(размерность).

Примеры нахождения для наиболее простых функциональных зависимостей

(абсолютные погрешности всегда складываются).

Обработка результатов измерения:

1) Полученный результат А_ср записывают в стандартной форме, сохраняя 3 или 4 знака после запятой:

2) Полученная величина абсолютной погрешности округляется до первой значащей цифры (не 0)

3) Окончательный результат измерений А_ср округляют или уточняют до разряда оставшегося в значении абсолютной погрешности после его округления.

Например:

а)

б)

4) В расчетных формулах часто встречаются величины, взятые из таблицы (, т.п.).

В значении универсальной постоянной надо взять столько значащих цифр, чтобы относительная погрешность этой постоянной была на порядок (в 10 раз) меньше, чем суммарная относительная погрешность непосредственно измеренных величин , тогда не будет заметно увеличивать относительную результирующую погрешность

.

Например, . Пусть , тогда если взять , то и .

В этом случае , погрешность увеличивается!

Пусть , тогда если взять , то и , т.е. и заметно ухудшать результат не будет!

Такие же рассуждения надо применять для величин, значения которых берутся в справочных таблицах.

5) Если в значении величин, заданных на установках не указаны абсолютные погрешности, то считается, что они измерены с точностью равной половине единицы последнего указанного разряда: