Алгоритм умножения уголком в десятичной системе и его теоретическое обоснование

алгоритм умножения многозначного числа на однозначное число y. 1. Записываем второе число под первым.2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если про­изведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и пере­ходим к следующему разряду (десятков).3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10 q 1 + с0, где с0 - однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q 1 - пере­нос в следующий разряд.4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к по­лученному произведению число q 1и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3. 5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда. Как известно, умножение числа х на число вида 10 k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это. Умножим число х = аn× 10 n + аn- 1 × 10 n- 1 +... + а 1×10 + а 0 на 10 k: (аn× 10 n + аn- 1 × 10 n- 1 +... + а 1×10 + а 0) × 10 k = аn× 10 n+k + аn- 1 × 10 n+k- 1 +... + а 0×10 k. Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа , так как равно аn× 10 n+k + аn- 1 × 10 n+k- 1 +... + а 0×10 k + + 0 × 10 k- 1 + 0 × 10 k- 2 +... + 0×10 + 0. Например, 347×103 = (3×102 + 4×10 + 7) × 103 = 3×105 + 4×104 + 7×103 = 3×105 + 4×104 + 7×103 + 0×102 + 0×10 + 0 = 347000.Заметим еще, что умножение на число у× 10 k, где у – однозначное число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10 k. Например, 52×300 = 52×(3×102) = (52×3)×102 = 156×102 = 15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Проиллюстрируем алгоритм умножения многозначного числа 437 на многозначное число 254.Представим число 254 в виде суммы 2·102+5·10+4 и запишем произведение 437·(2·102+5·10+4). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 437·(2·102)+437·(5·10)+437·4. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим (437·2)·102+(437·5)·10+437·4. Видим, что умножение многозначного числа 437 на многозначное число 254 свелось к умножению многозначного числа 437 на однозначные числа 2, 5 и 4, а также на степени 10. Таким образом получаем: 87400+21850+1748. Пользуясь алгоритмом сложения многозначных чисел, имеем:

Date: 2015-09-27; view: 436; Нарушение авторских прав