Алгоритм сложения столбиком в десятичной системе и его теоретическое обоснование

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к оп­ределению, все суммы, которые получаются при сложении однознач­ных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сло­жения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чи­сел, но практическое выполнение сложения происходит по особым пра­вилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложе­ние столбиком. Например,

+ 341

7238

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теорети­ческие положения лежат в его основе.Проиллюстрируем теоретические основы алгоритма сложения, вычислив суммы: 532+8347.Представим слагаемые 532 и 8347 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: . Согласно свойству ассоциативности произведем группировку: . Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102, а во второй – 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

.Итак, сложение данных чисел свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: . Полученное выражение есть десятичная запись числа 8879.Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел ле­жат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же.

Рассмотрим, например, суммы: 637+548.Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: . Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 6+5 и 7+8 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 7+8 представим в виде 1·10+5: (6+5)·102+(3+4)·10+(1·10+5).Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (6+5)·102+(3+4+1)·10+5. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 6+5 в виде 1·10+1, получаем (1·10+1)·102+8·10+5=103+102+8·10+5. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1185. Следовательно, 637+548=1185. В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответст­вующие разряды находилось друг под другом.2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше деся­ти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему Разряду (десятков).3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а0 + b 0= 1 × 10 + с 0, где с 0- однозначное число; записывают с 0в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого сла­гаемого, после чего переходят к разряду десятков.4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры стар­ших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1 + 0 = 1.Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».