Задача 3. «Оптимальный прием сигналов

«Оптимальный прием сигналов. Согласованная фильтрация».

Задание:

а) Определить коэффициент передачи согласованного фильтра для видеоимпульса прямоугольной формы; синтезировать его структурную схему. На входе фильтра вместе с импульсом действует «белый шум» со спектральной плотностью Wо(ω). Вычислить отношение сигнал /шум на выходе фильтра.

б) Пропустить видеоимпульс вместе с шумом через интегрирующую RC – цепь и рассчитать отношение сигнал / шум на выходе цепи. Построить график отношения сигнал / шум от величины τ_и / Т_ц и по нему найти величишу С/Ш при τ_и / Т_ц = Rc. Определить потери (в децибеллах) отношение С/Ш по сравнению с расчетом в пункте А.

Исходные данные:

Решение:

а) Для нахождения комплексного коэффициента передачи согласованного фильтра надо знать комплексную спектральную плотность сигнала, пропускаемого через фильтр. Прямоугольный видеоимпульс имеет комплексную спектральную плотность

А(1 – е^-jωτи)

S (ω) = ———————,

jω

где А – амплитуда импульса.

Согласованный фильтр должен иметь коэффициент предачи Кф, комплексно сопряженный со спектральной плотностью S* (ω) заданного сигнала (в нашем случае с прямоугольным видеоимпульсом):

Кф(jω) = АS*(ω) е^-jωτи,

где А – постоянный коэффициент, имеющий размерность, обратную спектральной плотности сигнала, т.е. А = 1 / S (ω);

А(1 – е^jωτи)

S*(ω) = ———————.

(- jω)

комплексно сопряженная спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса.

Таким образом,

КоА(1 – е^jωτи) КоА(1 – е^-jωτи)

Кф (jω) = ——————— е^-jωτи = ———————.

(- jω) (jω)

Коэффициент Кф (jω) отличается от спектральной плотности видеоимпульса S(ω) только постоянным коэффициентом А.

Структурная схема фильтра синтезируется по виду Кф (jω)

U _ВЫХ

Входящий в Кф (jω) множитель 1 / jω реализуется интегрирующим звеном, а множитель (1 – е^-jωτи) - устройством вычитания, к которому сигнал попадает без задержки и с задержкой на τ_и через линию задержки. Передаточная функция идеальной линии задержки (без потерь) равна е^-jωτи .

Отношение максимума сигнала на выходе к среднеквадратичному значению шума (помехи) по напряжению равно

С

η = ― = √ Е / Nо (ω),

Ш

где Е = А²τ_и - энергия сигнала.

б) Задана интегрирующая RC – цепь; постоянная времени цепи Т_ц = RС

R

Е С U_ВЫХ(t)

Максимальное значение сигнала на выходе U вых (t) будет в момент времени

t = τ_и, т.е.

U вых (t) = е (1 - е^{-τи / Тц} ).