Формула Бора для ионизационных потерь

Рассмотрим взаимодействие заряженной частицы с одним электроном. Пусть частица с зарядом ze (z =2 для α -частиц) пролетает со скоростью v на расстоянии ρ от свободного электрона с массой m_e и зарядом (- e) см рис.1.18. тогда электрон получает получит импульс в направлении перпендикулярном к линии полета частицы. Импульс электрона в направлении параллельном движению частицы равен нулю, т.к. при подлете

F^’ _װ> 0 при отлете и F’’ _װ <0 F^’ _װ= F’’ _װ.

Сила действующая на электрон со стороны частицы на участке 2 ρ равна

По второму закону Ньютона

Расстояние 2 ρ частица проходит за время

Импульс переданный электрону

Энергия переданная электрону

Рис.1.18. α -частица движется по оси Х и передает импульс электрону в направлении перпендикулярном оси. Показаны максимальное и минимальное расстояние, при которых происходит ионизация атомов вещества мишени.

Частица передает энергию всем электрона находящимся в цилиндрическом слое с радиусом ρ толщиной d ρ и длиной dx см рис.1.18

Объем цилиндрического слоя

dV=2π ρ dρ dx

В этом объеме находится dN электронов: dN=n_e dV

где n_e -концентрация электронов.

Общая потеря кинетической энергии заряженной частицы за счет взаимодействия со всеми электронами dN,находящимися в цилиндрическом слое

dT=ΔT n_edV=

Потери энергии на единицу длины

Полные удельные потери получаются интегрированием по ρ

(1.98)

Кулоновская энергия взаимодействия заряженной частицы и электрона равна средней энергии ионизации электрона

Мэв, где Z- порядковый номер элемента мишени.

максимальное расстояние определяется как предельное расстояние, на котором происходит ионизация электронов в атоме мишени.

(1.99)

максимальная энергия, которая может быть передана движущейся тяжелой частицей электрону определяет минимальное расстояние

максимальный импульс переданный электрону тяжелой стенкой

максимальная кинетическая энергия переданная электрону

откуда

Подставляя в формулу (1.98) отношение

В классическом приближении получаем

(1.100)

Более точная формула для полных удельных ионизационных потерь тяжелой заряженной частицы движущейся со скоростями имеет вид

- формула Бора (Бете-Блоха). (1.101)

При релятивистких энергиях возрастает максимальная энергия переданная электрону. Член связан с лоренцовым сокращением кулонова поля, что приводит к передаче энергии удаленным электронам.

Основной результат: удельная потеря энергии заряженной частицы на ионизацию среды, пропорциональна квадрату заряда частицы, концентрации электронов и обратно пропорциональна квадрату скорости частицы. Зависимость от массы частицы отсутствует.

~ (1.102)

При введении массовой длины ξ = xρ, где ρ- плотность среды, удельные потери энергии для всех сред становятся постоянными

_ион [ Мэв / см ^-2 г ].= const (1.103)