Статистика бинарных отношений

Оценивание центра распределения проводят обычно с помощью медианы Кемени [42, 24]. Состоятельность вытекает из закона больших чисел [1]. Вычислительные процедуры нахождения медианы Кемени обсуждаются в работе [30].

Методы проверки гипотез развиты отдельно для каждой разновидности бинарных отношений. В области статистики ранжировок, или ранговой корреляции, классической является книга Кендалла [78]. Современные достижения отражены в статье Ю.Н.Тюрина и Д.С.Шмерлинга [79]. Статистика случайных разбиений развита А.В.Маамяги [80]. Статистика случайных толерантностей (рефлексивных симметричных отношений) изложена в работе [1]. Многие ее задачи являются частными случаями задач теории люсианов.

Теория люсианов (бернуллиевских векторов)

Люсиан (бернуллиевский вектор) - это последовательность испытаний Бернулли с, вообще говоря, различными вероятностями успеха [81, с.232]. Реализация люсиана (бернуллиевского вектора) - это последовательность из 0 и 1. В работе [1] люсианы (бернуллиевские вектора) рассматривались как случайные множества с независимыми элементами, а в исследовании [82] - как результаты независимых парных сравнений. Последовательность результатов контроля качества единиц продукции по альтернативному признаку - также реализация люсиана (бернуллиевского вектора). Случайная толерантность может быть записана в виде люсиана. Поскольку один и тот же объект применяется в различных областях, естественно для его наименования применять специально введенный термин "бернуллиевский вектор". Используется также термин "люсиан"[2].

В рассматриваемой теории изучают методы проверки согласованности (одинаковой распределенности), однородности двух выборок, независимости люсианов. Изучение этих задач в ассимптотике А.Н.Колмогорова начато в работах [1,82,83] и продолжено Г.В.Рыдановой [117], Т.Н.Дылько [84], Г.В.Раушенбахом и А.А.Заславским [85]. Имеется также и обзор [33].

Методы проверки указанных гипотез нацелены на ситуацию, когда число бернуллиевских векторов фиксировано, а их длина растет. При этом число неизвестных параметров возрастает пропорционально объему данных, т.е. теория построена в асимптотике растущего числа параметров. Ранее эта асимптотика под названием асимптотики А.Н.Колмогорова использовалась в дискриминантном анализе, но там применялись совсем другие методы [86].

Непараметрическая теория парных сравнений (в предположении независимости результатов отдельных сравнений) - часть теории бернуллиевских векторов [82]. Параметрическая теория связана в основном с попытками выразить вероятности того или иного исхода через значения гипотетических или реальных параметров сравниваемых объектов [87]. Известны модели Терстоуна, Бредли-Терри-Льюса и др. [88]. В СССР построен ряд новых моделей парных сравнений [89,4]. Существенные результаты в этой области принадлежат Д.С.Шмерлингу [90]. Имеются модели парных сравнений с тремя исходами (больше, меньше, неразличимо), модели зависимых сравнений, сравнений нескольких объектов (сближающие рассматриваемую область с теорией случайных ранжировок) и т.д. [4,90,91].