Уравнение энергетического баланса и методика определения коэффициента сопротивления качению

Уравнение энергетического баланса – это математическая формулировка общефизического закона сохранения энергии. Для установок, где механическая энергия может – под действием непотенциальных сил – преобразовываться в другие формы энергии, уравнение баланса имеет вид:

(10)

Здесь: Е₀ – начальная механическая энергия;

E(t) – механическая энергия в момент времени t;

E_s – потери механической энергии, обусловленные работой непотенциальных сил.

Уравнение (10) позволяет в ряде случаев выполнять исследования более простыми методами, чем с применением системы уравнений динамики, например, типа (7) для качения тел.

Рассмотрим методику определения коэффициента сопротивления качению d с учётом уравнения (10) на установке "Механический лоток". Принципиальная схема такой установки дана на рис. 3.

Установка состоит из двух наклонных плоскостей с равными углами наклона. Исследуемое тело – шар может перекатываться с одной плоскости на другую по желобу, обеспечивающему плоско – параллельный тип движения при качении.

Поднятое в верхнее положение и покоящееся тело имеет начальную механическую энергию Е₀, равную потенциальной энергии П₀ = mgh₀, где h₀ – высота подъёма центра масс, отсчитываемая от нижнего уровня спуска (см. рис 3).

Механическая энергия при движении в произвольный момент времени t равна:

, (11)

где П(t) = mgh; - потенциальная и кинетическая энергии при качении без скольжения.

Если допустить, что потери механической энергии при качении отсутствуют (E_s = 0), тогда тело, перекатываясь с одной плоскости на другую, в моменты остановок (когда ω = 0) поднималось бы на одну и ту же высоту, равную h₀. Этот вывод легко проверить теоретически, подставляя формулу (11) в уравнение (10). При условии, что E_s = 0 и кинетическая энергия в момент времени t_k остановки T(t_k) = 0, получим: П₀ = П(t_k), т.е. высота h в момент остановки тела должна равняться начальной высоте h₀.

В опыте, однако, наблюдается уменьшение высоты подъёма тела после каждого очередного перекатывания. На схеме рис.3 показан шар, поднявшийся на высоту h_N после числа перекатываний, равного N. Поскольку в моменты остановок кинетическая энергия равна нулю, из (10) и (11) получаем:

(12)

Здесь: E_s – потери энергии, равные работе момента сопротивления качению A_s за всё время движения.

Используя формулу (5), получаем:

(13)

Здесь: φ – полный угол поворота шара при качении, который определяется простым выражением:

, (14)

где L – длина пути центра масс шара за время катаний с одной плоскости на другую.

Схема, приведённая на рис.3, позволяет найти для расчёта величины L следующую простую формулу:

(15)

Из схемы на рис.3 также видно, что высоты h₀ и h_N можно найти с помощью выражений:

(16)

Подставляя (13), (14), (16) в уравнение (12) и учитывая: , получим выражение для расчёта коэффициента сопротивления качению в следующем виде:

, (17)

где: ‹ b › = ‹ l₀ › - ‹ l_N › – разность отсчётов расстояний от нижней точки спуска до центра шара;

‹ L ›– вычисляется с помощью формулы (15).

Выражение (17) показывает, что использование закона сохранения энергии (в форме уравнения энергетического баланса) позволяет проводить опыты для определения коэффициента δ без измерения времени движения. Требуются только линейные измерения величин b и L. Экспериментальная установка при этом может иметь небольшие размеры.

Кроме того, значительно повышается достоверность результатов измерения коэффициента δ по сравнению с результатами, получаемыми по формуле (9). Это объясняется тем, что погрешности линейных измерений параметров в формуле (17) обеспечивают для коэффициента δ доверительный интервал, величина которого на два порядка меньше среднего значения δ, получаемого в опыте.