Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Определение критериев подобия на базе π-теоремы
|
|
2.1 Составление матрицы размерностей параметров процесса
Определим параметры, участвующие в данном процессе и их число, и представим процесс в виде следующего уравнения:
f (
, R, 
, t, C, 
, 
, 
) = 0 (2.1)
Из уравнения (2.1) видно, что m = 8. Выразим все члены уравнения (2.1) в относительных единицах:
f (
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
) = 0 (2.2)
Запишем выражения единиц измерения для всех величин, участвующих в выражении (2.2):
[ ] = [ 
] = [ 
]
[R] = [ 
] = [ 
]
[ ] = [ 
] = [ 
]
[t] = [ 
] = [ 
] (2.3)
[C] = [ 
] = [ 
]
[ ] = [ ] = [ 
]
[ ] = [ ] = [ 
]
[ω] = [ 
] = [ 
]
Построим матрицу размерностей, составленную из показателей степени, входящих в формулы размерности системы (2.3):
| L | M | T | I | ||
|
| -2 | -2 | |||
|
| -3 | -2 | |||
|
| -3 |
| |||
|
| |||||
|
| -2 | -1 | |||
|
| -2 | -2 | |||
|
| -3 | -1 | |||
| -1 |
2.2 Определение независимых параметров процесса и числа возможных форм записи критериев подобия
Определим число независимых параметров из , , , , , 
и и установим их. Число независимых параметров (К) будет равно порядку первого не равного нулю определителя, составленного из указанных показателей степени(матрица (2.4)). Причем анализ определителей нужно начинать с определителей порядка основных единиц измерения, то есть в нашем случае с четвертого порядка.
Определим число возможных комбинаций определителей четвертого порядка:
= 
= 70
Из следующих свойств определителей: 1) если в определителе имеются одинаковые строки, то такой определитель равен нулю; 2) если в определителе имеются пропорциональные строки, то такой определитель равен нулю; 3) если в определителе имеются нулевые строки, то такой определитель равен нулю; легко показать, что все определители четвертого порядка равны нулю. Следовательно, и число независимых параметров меньше четырех.
Анализируем определители третьего порядка. Определим число возможных комбинаций определителей третьего порядка:
С = 
* 
= 
= 224
Рассчитаем любой произвольный определитель третьего порядка:
L T I
-2 4 2
D = 
2 -3 -1 = -2
0 -1 0
Так как определитель третьего порядка оказался отличен от нуля, то число независимых параметров (К) равно трем, при этом в первой форме записи в качестве независимых параметров являются , , . Остальные параметры будут зависимы и будут выражаться через независимые. На основании расчетов приложения видно, что число форм записи критериев подобия на базе π-теоремы составляет двадцать шесть.
2.3 Определение критериев подобия в трех формах записи
2.3.1 В первой форме записи
Определим первую форму записи критериев подобия:
Найдем соотношения между независимыми и зависимыми параметрами, и они будут иметь следующий вид:
[ ] = 
[ ] = 
[ ] = 
(2.5)
[ ] = 
[ ] = 
Следующая задача заключается в нахождении показателей 
, 
,…, 
.
= 
= -1; = 
= 
= 0
= 
= 
= -2; 
= 
= 
= -1
= 
= 
= 0; 
= 
= 
= -1
= 
= 
= 0; 
= 
= 
= 1
= 
= 
= 0; 
= 
= 
= 0
= 
= 
= 0; 
= 
= 
= -1
= 
= = -1; 
= 
= = 0
= 
= = -2
После подстановки найденных значений , ,…, в систему (2.5), получаем:
[ ] = 
[ ] = 
[ ] = 
(2.6)
[ ] =
[ ] =
Учитывая, что связь между единицами измерения идентична связи между самим физическими величинами, мы можем записать следующее:
= 
= 
= (2.7)
= 
=
Так как , и независимые величины, то мы можем выбрать их произвольно. Выберем их таким образом:
= С, = , = ω
Подставляя выбранные значения в выражение (2.2) вместо входящих в него параметров, получим:
f (
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
) = 0 (2.8)
f (, , , , 1, , 1, 1) = 0 (2.9)
На основании первой теоремы подобия все отношения (отличные от единицы, входящие в выражение (2.9)) представляют собой критерии подобия в первой форме записи.
= *C* 
, 
= R*C*ω, 
= , 
= t*ω, 
= *C* .
2.3.2 Во второй форме записи
По аналогии с пунктом 2.3.1 определим вторую форму записи критериев подобия. Найдем определитель третьего порядка отличный от нуля и отличный от предыдущего хотя бы одной строкой.
M T I
1 -2 -2
D = 
1 -3 -2 = -1
1 -3 -1
В качестве независимых параметров во второй форме записи будут являться , и . Остальные параметры будут зависимы и будут выражаться через независимые. Найдем соотношения между зависимыми и независимыми параметрами, и они будут иметь следующий вид:
[ ] = 
[ ] = 
[ ] = 
(2.10)
[ ] = 
[ ] = 
Следующая задача заключается в нахождении показателей 
, 
,…, 
.
= 
= 1; = = 
= -1
= = 
= 0; 
= 
= 
= 1
= 
= 
= -2; 
= 
= 
= 0
= = 
= 1; 
= = 
= 0
= = 
= 0; 
= 
= 
= 0
= 
= 
= 0; 
= 
= = 1
= 
= 
= -1; 
= 
= 
= 1
= 
= 
= 0
После подстановки найденных значений , ,…, в систему (2.10), получаем:
[ ] = 
[ ] = 
[ ] = 
(2.11)
[ ] = 
[ ] = 
Учитывая, что связь между единицами измерения идентична связи между самим физическими величинами, мы можем записать следующее:
= 
= 
= (2.12)
= 
= 
Так как , и независимые величины, то мы можем выбрать их произвольно. Выберем их таким образом:
= , = 
, =
Подставляя выбранные значения в выражение (2.2) вместо входящих в него параметров, получим:
f (
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
) = 0 (2.13)
f (
, , , , , , , ) = 0 (2.14)
На основании первой теоремы подобия все отношения (отличные от единицы, входящие в выражение (2.14)) представляют собой критерии подобия во второй форме записи.
= 
, 
= 
, 
= , 
= , 
= 
.
2.3.3 В третьей форме записи
По аналогии определим третью форму записи критериев подобия. Найдем определитель третьего порядка отличный от нуля и отличный от двух предыдущих хотя бы одной строкой.
M T I
1 -3 -2
D = 0 1 0 = 1
1 -3 -1
В качестве независимых параметров в третьей форме записи будут являться , и . Остальные параметры будут зависимы и будут выражаться через независимые. Найдем соотношения между зависимыми и независимыми параметрами, и они будут иметь следующий вид:
[ ] = 
[ ] = 
[ ] = 
(2.15)
[ ] = 
[ ] = 
Следующая задача заключается в нахождении показателей 
, 
,…, 
.
= 
= 1; = = 
= 1
= = 
= 0; 
= = 
= 0
= = 
= 0; 
= = 
= 1
= = = -1; 
= = 
= 1
= = 
= 0; 
= = = 1
= = = 1; 
= = = 0
= = 
= 0; 
= = 
= -1
= = 
= 0
После подстановки найденных значений , ,…, в систему (2.15), получаем:
[ ] = 
[ ] = 
[ ] = (2.16)
[ ] =
[ ] = 
Учитывая, что связь между единицами измерения идентична связи между самим физическими величинами, мы можем записать следующее:
= *
=
= 
(2.17)
= *
= 
Так как , и независимые величины, то мы можем выбрать их произвольно. Выберем их таким образом:
= R, = t, =
Подставляя выбранные значения в выражение (2.2) вместо входящих в него параметров, получим:
f (
, , , 
, 
, 
, , 
) = 0 (2.18)
f (, , , , , , , ) = 0 (2.19)
На основании первой теоремы подобия все отношения (отличные от единицы, входящие в выражение (2.19)) представляют собой критерии подобия в третьей форме записи.
= , 
= , 
= 
, 
= , 
= ω*t.
Заключение
Таблица № 2. Сводная таблица критериев подобия.
| № Формы записи | Методом интегральных аналогов | На базе π-теоремы |
=  , =  =  , =  , = 
| = *C* , = R*C*ω, = , = t*ω, = *C*
| |
=  , =  , =  , =  , =
| = , = , = , = , =
| |
  ,   , =  , =  , =
| = , = , = , = , = ω*t
| |
 = ,  =  ,  = ,  = ,  = 
| …………………………….. | |
 =  ,  =  ,  =  ,  = ,  =
| …………………………….. |
Анализируя проделанные вычисления не трудно заметить, что определение количества форм записи критериев подобия методом интегральных аналогов не всегда может содержать в себе все возможные формы записи, в отличие же от определения их на базе π-теоремы.
Список литературы
1. Веников, В.А. Теория подобия и моделирования [Текст]: (применительно к задачам электроэнергетики) / В. А. Веников, Г. В. Веников. - М.: Высшая школа, 1984. - 440 с.
2. Шпиганович, А. Н. Методические указания и контрольные задания к расчетно-графическому за-данию «Определение критериев подобия способом интегральных аналогов и на базе я-теоремы.» [Текст]: по дисциплине «Моделирование в технике» (для студентов направления подготовки 140400) / А. Н. Шпиганович, В. И. Бойчевский, Липецк: ЛГТУ, 2012. - 8 с.
3. Тетельбаум, И. М. Модели прямой аналогии [Текст] / И. М. Тетельбаум, Я. И. Тетельбаум. - М.: Наука, 1979- 384 с.
Приложение
D = 
= 0;D = 
= 0;D = 
= -2
D = 
= -1;D = 
= 0;D = 
= 0
D = 
= 0;D = 
= 0;D = 
= 0
D = 
= 0;D = 
= 0;
D = 
= 0;D = 
= 0; D = 
= 0
D = 
= 0;D = 
= 0; D = 
= 0
D= 
= 0;D= 
= -2; D = 
= -1
D = 
= 0; D = 
= 0; D = 
= 0
D = 
= 0; D = 
= 0; D = 
= 0
D= 
=-2;D = 
= 1;D= 
= 0
D = 
= 0; D = 
= 0
D = 
= -2;D = 
= 0;D = 
= 0
D = 
= 0; D = = 0; D = 
= 0
D = 
= 0;D = 
= 0;D = 
= 0
D = 
= 0;D = 
= 2;D = 
= 1
D = 
= 0; D = 
= 0
D = 
= 0;D = 
= 0;D = 
= 0
D = 
= 0;D = 
= 0;D = 
= 0
D = 
= 0;D = 
= 0;D = 
= 2
D = 
= 1; D = 
= 0; D = 
= 0
D = 
= 0;D = 
= 0;D = 
= 0
Date: 2015-09-05; view: 1062; Нарушение авторских прав