Простейший поток

При аналитическом моделировании характеристики системы вычисляются наиболее просто для потока заявок называемого простейшим.

Простейший поток - это поток заявок, который обладает всеми 3-мя св-ми: стационарность, ординарность, отсутствие последействия.

У простейшего потока интервалы времени между 2-мя последовательными заявками - независимые СВ с функцией распределения F(t)=1-e^(-λt).

Графический вид данного распределения:

Такое распределение называется экспоненциальным или показательным и имеет плотность распределения:

F|(t)=f(t)= λ* e-λt - Дифференциальный закон или плотность вер-ти.

Для простейшего потока:

Мат.ожидание длины интервала- это интеграл:

M[T]=

Дисперсия:

D[T]=M[T^2]-(M[T])^2 =

Среднеквадратичное отклонение:

σ(t)=

Экспоненциальное распределение характеризуется одним количественным параметром - интенсивностью.

Простейший поток заявок обладает следующими особенностями:

1) Сумма независимых стационарных потоков с интенсивностями λi и любыми законами распределения сходятся к простейшему с интенсивностью λ:

, где к=4-5 и выше.

2) Поток заявок, полученный в результате случайного разряжения исходного стационарного, ординарного потока имеющего интенсивность λ, когда каждая заявка исключается из потока с определенной вероятностью P независимо от того исключены другие заявки или нет образует простейший поток с интенсивностью λ=P*λисх.

3) Интервал времени между произвольным моментом времени и моментом времени поступления очередной заявки имеет экспоненциальное распределение с таким же мат. ожиданием (1/λ), что и интервал времени между 2-мя последовательными заявками.

4) Простейший поток создает так называемый тяжелый режим функционирования системы, т.к.:

а) Большое число (63%) промежутков времени между заявками имеют длину меньшую чем ее M[T] =1/λ.

б) Коэффициент вариации ν=(σ[T])/(M[T]), характеризующий степень нерегулярности потока =1. В то время как у детерминированного потока ν=0, а для большинства законов распределения 0<ν<1.

Простейший поток создает тяжелый режим функционирования системы, поскольку большое число промежутков времени (63%) между заявками имеет длину, меньшую, чем математическое ожидание (М=1/λ) и коэффициент вариации Р=s(t)/M(t), характеризующий степень нерегулируемости потока, равен единице в то время, как у детерминированных потоков D=0.

Для большинства остальных законов распределения 0<D<1

Вычислим вероятность появления периодов t, меньше Мt=1/λ.

Формула плотности распределения:

F(t) = 1-e^(-λt), тогда Р{0<t<Mt}=F(Mt)-F(0)=(1-e^(-λt))-(1-e^(-0))=1-1/e=0/63=63%

Т.е. наступление событий с более короткими промежутками, меньшими, чем математическое ожидание Мt=1/λ., более вероятно, чем с длинными.

Простейший поток имеет широкое распространение не только из-за аналитической простоты связанной с ним теории, но и потому, что большое число наблюдаемых потоков стохастически не отличимы от простейшего.

Этот эмпирический факт подтвержден рядом математических моделей, в которых при довольно общих условиях доказывается, что поток близок к простейшему