Диалектика количественных и качественных отношений и математическое познание

На каждом историческом этапе развития математика, как и любая другая наука, представляет собой определенный конкретный и в известной степени фиксированный способ и результат познания своего объекта. Однако содержание знания об объекте определяется не только им самим, но и особенностями методов познания. Последние же зависят от целого ряда факторов — социальных, экономических, технических, от уровня развития смежных наук, от мировоззрения. Нередко изменение содержания математического знания и способов его получения истолковывается как изменение самого объекта науки. В этом случае объект отождествляется с ме-таобъектом и оказывается проекцией сложившихся к данному моменту представлений об объекте (как правило, неполных, относительных, ограниченных). «Недостатком такого принципа, — подчеркивает Г. Г. Шляхин, — является подмена реальной действительности ее теоретизиро-ванной частью» 23. Между тем ни в какой момент развития математического познания его объект не исчерпывается имеющимися в наличии знаниями о нем. Абсолютизация познанного, как и абсолютизация еще не

22 См. Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 29, с. 99.

23 Шляхин Г. Г. Математика и объективная реальность, с. 110. О. И. Кедровский также считает недопустимой абсолютизацию «роли математически выразимого количества и отождествления последнего с философской категорией количества» (Кедровский О. И. Методологические проблемы развития математического познания, с. 158).

познанного, одинаково неприемлемы для диалектического мышления. Обе точки зрения неспособны объяснить процесс непрестанного развития математики, расширения математического знания.

В связи с тем, что на роль основного понятия математики в настоящее время выдвигается понятие структуры, некоторые авторы говорят об изменении не предмета, а объекта математического познания 24. Этот факт истолковывается иногда также в том смысле, что современная математика исследует уже не количественную определенность материального мира, а его «структурный аспект». Так, И. Г. Федоров пишет: «Единственным объектом современной математики является структурный аспект материи...» 25 Другие авторы, желая сохранить понимание математики как науки о количественных отношениях и вместе с тем как-то учесть роль структуры в современном математическом познании, пытаются расширить содержание философской категории «количество», включив в нее понятие структуры 2б. Количественные связи при этом определяют не как отношения между величинами, а как любые структуры, которые сравнительно независимы от конкретного содержания соотносящихся сторон. Утверждают даже, что «изучаемые математикой отношения всегда являются количественными» 27. в связи с этим принятое в диалектическом материализме понимание категории количества как единства числа и величины объявляется узким и устаревшим. Между тем в основе концепции, определяющей количество как единство числа и величины, лежит обобщение всего научного и практического опыта людей, и никакого другого научного смысла, на наш взгляд, эта категория не имеет 28.

24 Это подчеркивают представители французской школы математиков, выступающие под псевдонимом Н. Бурбаки (Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963, с. 258).

25 Федоров И. Г. Некоторые методологические проблемы математики, с. 88.

26 Эта точка зрения в настоящее время является преобладающей и высказывается целым рядом авторов. Вместе с тем некоторые авторы (И. А. Акчурин и Э. А. Мариничев) утверждают, по нашему мнению неосновательно, что количественные отношения представляют собой частный случай структурных.

27 См. Математика.-БСЭ, изд. 3, т. 15, с. 474.

28 См. Материалистическая диалектика, т. 1, с. 157.

Структура как философская категория имеет собственное содержание, в котором признак «безразличия» к природе элементов не является определяющим, о чем часто пишут сторонники «широкого» понимания категории количества 29.

На тесную связь категории структуры с категорией качества указывают авторы, специально исследовавшие категорию структуры в онтологическом плане. Так, В. И. Свидерский писал: «При анализе того, что является внутренним содержанием качества, легко убедиться, что последним должно выступать определенное единство соответствующих элементов и соответствующей структуры, создающих определенность, специфичность, целостность и устойчивость любого явления» 30. Качество, будучи единством элементов и структуры, не тождественно ни структуре, ни элементам, взятым порознь. Структуре присущи и количественные и качественные характеристики, что, конечно, не может служить основанием для отождествления структуры с качественной или количественной определенностью. Существуют структуры различных качественных типов. Среди них особый тип представляют собой пространственные отношения.

Математика как наука об отношениях в объективном мире всегда исследовала не некое неопределенное «количество вообще», «чистое количество», а различные виды количественной определенности конкретного качественного типа. Ее объектом являются различные отношения меры, материал для которых математики черпают из природы, дополняя его «умственными конструкциями», предназначенными в конечном счете для раскрытия того содержания, которое заложено в исходных понятиях. Поскольку нет таких качеств, которые не имели бы количественной характеристики, и таких явлений, которые не

29 На наш взгляд, неправильно характеризовать с помощью признака «безразличия» не только структуры, но и качество. У Гегеля, на которого по данному поводу часто ссылаются современные математики, «безразличие» количества к бытию есть лишь одна из характеристик количественной определенности, «снимающая» себя при переходе к качеству и мере. Так, Гегель пишет, что количество есть в себе качество и «то, благодаря чему нечто есть то, что оно есть, — это истина определенного количества, мера» (Гегель. Наука логики, т. 1, с. 413, 415). Все универсальные свойства материального объекта образуют единую систему, поэтому ни один из них не может быть безразличным для его бытия (см. Материалистическая диалектика, т. 1, с. 154).

30 Свидерский В. И. Некоторые вопросы диалектики изменения и развития. М., 1965, с. 205.

подчинялись бы закону меры, постольку область применения математических методов к познанию природы принципиально не ограничена. Конечно, применение любого конкретного метода имеет границы. На каждом данном этапе развития научного знания существуют такие его виды, которые не поддаются исследованию средствами математики.

Математическое знание, как и всякое научное знание, глубоко диалектично, однако его диалектическая природа не всегда очевидна. Сам способ представления результатов математического познания, принятый в этой науке, в немалой степени способствовал распространению взгляда на математику как на «формальное», «внешнее» знание, не имеющее объективных оснований.

Пренебрежительное, а подчас и отрицательное отношение Гегеля к математике основывалось на господствовавшем в то время понимании математики как науки о величинах, о количестве вне связи с качеством, а также на отождествлении способа изложения математического содержания с действительным процессом его движения. Процессом доказывания в ней, отмечал Гегель, управляет как будто бы какая-то внешняя самому содержанию сила; исходный пункт доказательства никак не связывается при его выборе с искомым результатом. В процессе доказывания якобы совершенно произвольно принимаются одни и игнорируются другие допущения, причем невозможно установить, в силу какой необходимости все это делается31. Высокая оценка математики И. Кантом основана опять-таки на ошибочном понимании им природы математического знания, которое он считал примером «синтетического априорного знания» — единственного вида знания, которое, согласно Канту, сочетает объективную значимость с безусловной достоверностью, обладает общим и необходимым характером 32.

Характерные для современного позитивизма оценки математики как «информационно пустой», «онтологически нейтральной», «тавтологичной», «чисто вербального знания» также основаны на абсолютизации действительно присущего этой науке момента — неопределенности смыслового (семантического) содержания ряда ее фунда-

31 См. Гегель. Соч., т. IV. М., 1959, с. 23-24.

32 «...В любом частном учении о природе, — писал Кант, — можно найти науки в собственном смысле слова лишь столько, сколько имеется в ней математики» (Кант И. Соч., т. 6. М.,1966, с. 58).

ментальных терминов зз. Между тем законы математики совместимы не с любой онтологической конструкцией. Ведь даже логика содержит некоторые «онтологические обязательства» 34, т. е. предполагает существование объектов с определенными свойствами.

В еще большей степени это присуще математике. Конечно, известная неопределенность в отношении конкретного вида объектов всегда остается, поскольку математика не различает между «фактическим» положением дел и возможными, но неосуществленными ситуациями. Она отвлекается от того обстоятельства, что возможности, совместимые логически, могут быть несовместимыми «физически», от того, что все возможности вообще не могут осуществиться. Если физика различает реальные и абстрактные возможности, то для математики в области возможного нет качественных градаций.

Эта особенность математики позволяет ей быть «наукой о бесконечном». Способность ее отображать, хотя и в абстрактной и односторонней форме, количественный аспект бесконечности как атрибута объективного мира заслуживает специального анализа в плане выявления диалектики математического познания. В диалектическом материализме бесконечное есть противоположность конечного и вместе с тем его момент. Значение идеи бесконечности для научного познания определяется тем, что без нее невозможно познание конечного. «...По существу, — говорит Ф. Энгельс, — мы можем познавать только бесконечное» 35. Действительно, всякое общее утверждение ориентировано на потенциально бесконечный ряд явлений.

В математике понятие бесконечности изучается главным образом теорией множеств. Начало этим исследованиям было положено Г. Кантором, которому удалось объединить понятия актуальной и потенциальной

33 Bar-Hillel I. The Irrelevance of Ontology to Mathematics. — Problems in the Philosophy of Mathematics, v. 1. Amsterdam, 1967. Подобные взгляды встречаются иногда и в нашей литературе. Так, утверждается, что математика как наука «не имеет определенного предмета», что «будет анахронизмом связывать определение математики как науки с какой-то областью действительности или с определенными свойствами действительности» {Беляев Е. А. и др. Некоторые особенности развития математического знания. М., 1975, с. 14).

34 См. Бродский И. Н. Отрицательные высказывания. Л., 1973, с. 100.

35 Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 548.

бесконечности в едином понятии предела бесконечной последовательности, рассматриваемого как начало новой последовательности так называемых «трансфинитных» чисел 36.

Современная математика исследует преимущественно лишь количественный аспект реальной бесконечности. Встречающиеся на этом пути трудности показывают, что «бесконечное количество» качественно отличается от конечного количества. «Бесконечное количество» в отличие от конечного не может быть ни увеличено, ни уменьшено, для него не выполняется принцип «целое больше части». Как показал Т. Сколем, «кардинальное число» бесконечного множества (характеризующее «число элементов» множества) не является абсолютной характеристикой для конечного множества, а зависит от способа рассмотрения. В этом отражается сложная количественно-качественная природа бесконечности, для адекватного отображения которой в современной математике, по-видимому, еще не разработана подходящая система понятий 37. Тем не менее исследование понятия бесконечности в математике, особенно в связи с обнаружением парадоксов теории множеств, привело к значительным результатам научного и методологического характера.

Таким образом, анализ некоторых диалектико-материалистических проблем математического познания свидетельствует о том, что для его понимания необходимо опираться на основные принципы теории отражения: принцип активности субъекта, принцип иерархичности процесса и результата отражения, принцип единства онтологии, гносеологии и методологии38. Активный характер отражения в математическом познании проявляется во взаимодействии конструктивных и неконструктивных элементов знания, иерархичность отражения — в использовании метаобъекта и метаисследования как средств познания объективной реальности, единство объективной и субъективной диалектики — в том, что познание объекта математики осуществляется посредством исследования не только его самого, но и форм деятельности математиков в процессе исследования.

36 См. Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях. — Новые идеи в математике, сб. 6. СПб., 1914, с. 55.

37 См., например. Кармин А. С. Познание бесконечного. М., 1981, с. 111-112, 123-125.

38 См. Материалистическая диалектика, т. 1, с. 50 — 53.