Теорема Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность обладает специфическим свойством: «Его величина пропорциональна электрическому заряду, расположенному внутри этой поверхности. Это утверждение составляет физический смысл теоремы Гаусса». Доказательство.

1) Допустим, что в начале координат помещен точечный электрический заряд q.Напряженность электрического поля, созданного этим зарядом, описывается соотношением:

Окружим заряд q сферой радиуса r, центр которой совпадает с началом координат. Известно, что внешняя нормаль n к элементу поверхности dS сферы направлена по радиусу:

Поток вектора E через поверхность сферы равен:

2) Пусть поверхность S является произвольной достаточно гладкой замкнутой поверхностью, причем начало координат - место расположения заряда q - лежит внутри поверхности S.Заметим, что:

где α - угол между внешней нормалью n и радиусом-вектором r точки, в окрестности которой расположен элемент поверхности dS; dΩ - элемент телесного угла, под которым виден элемент поверхности dS из начала координат.

В этом случае прямое вычисление потока вектора E через замкнутую поверхность S приводит к результату:

Здесь следует иметь ввиду, что для выпуклой замкнутой поверхности S величина dΩ>0 и суммарное значение интеграла в данном выражении равно 4π. Если поверхность S не является строго выпуклой, то для части поверхности cosα>0, а для части поверхности cosα>0, в этом случае dΩ является алгебраической величиной, но в результате все равно получается 4π. Для случая, когда начало координат (т.е. точка расположения заряда q) лежит вне замкнутой поверхности суммарное значение Ω=0, поскольку видимая часть поверхности и невидимая из начала координат часть поверхности приводят к одному и тому же абсолютному значению телесного угла, но противоположных знаков.

3) Реальное электростатическое поле обусловлено совокупностью точечных зарядов (принцип суперпозиции), для каждого из которых соотношение:

доказано для произвольной замкнутой поверхности S. Но тем самым доказана справедливость теоремы Гаусса для произвольного электростатического поля: поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен суммарному электрическому заряду, находящемуся внутри поверхности S, деленному на величину ε0. Использование теоремы Гаусса в интегральной форме в отдельных случаях, отличающихся высокой степенью симметрии расположения электрических зарядов в пространстве, позволяет эффективно рассчитывать характеристики электростатического поля.