Парадокс Берри (1906)

Парадокс кучи.

Не существует кучи зёрен.

Докажем по индукции.

Базис: n=1 одно зерно кучи не образует.

Индукционный переход:

Если при n=k кучи нет, то при

n=k+1 кучи не получается.

Значит, любое количество зёрен кучи не образует.

Причина:?.

Парадокс Берри (1906).

Существуют ли самые простые понятия?

Дано натуральное число n и «предложение русского языка (РЯ) П, которое описывает натуральное число n».

Обозначим через М₁- множество предложений РЯ, состоящее не более чем из одного слога и описывающее натуральные числа. Это множество конечное, а множество натуральных чисел бесконечное. Значит существует множество натуральных чисел, которое не описывается множеством М₁.

Пусть m₁- минимальное, натуральное число, которое не может быть описано предложением РЯ, состоящим не более чем из одного слога.

Обозначим через М₂- множество предложений РЯ, состоящее не более чем из двух слогов и описывающее натуральные числа. М₁ М₂. Это множество конечное, а множество натуральных чисел бесконечное. Значит существует множество натуральных чисел, которое не описывается множеством М₂.

Пусть m₂- минимальное, натуральное число, которое не может быть описано предложением РЯ, состоящим не более чем из двух слогов.

Обозначим через М₃₃- множество предложений РЯ, состоящее не более чем из 33 слогов и описывающее натуральные числа. Это множество конечное, а множество натуральных чисел бесконечное. Значит существует множество натуральных чисел, которое не описывается множеством М₃₃.

Пусть m₃₃- «минимальное натуральное число, которое не может быть описано предложением РЯ, состоящим не более чем из 33 слогов».

Само это предложение точно определяет m₃₃ но состоит менее, чем из 33 слогов.

Мы пришли к противоречию.