Производную от единичной ступенчатой функции

. (3.4)

называют единичной импульсной или Дельта-функцией. Такой вид сигнала встречается довольно часто, например, электрический импульс продолжительностью 1 m С для обычных систем регулирования напряжения можно считать -функцией, а для электронных – единичной ступенчатой функцией.

3. Гармонический сигнал (рис. 3.3).

На основе формулы Эйлера

, (3.5)

при гармонический сигнал можно записать в комплексной форме

. (3.6)

В вещественной форме гармонический сигнал имеет более простую форму записи:

, (3.7)

где x – амплитуда входного сигнала; – круговая частота колебаний; – начальная фаза функции .

Рис. 3.3. Гармонический сигнал

В частном случае, когда , гармонический сигнал записывается

. (3.8)

Гармоническое возмущение используется в частотных методах исследования элементов и их систем. При разных частотах элементы
по-разному реагируют на одно и то же гармоническое возмущение. Проанализировав реакцию элемента на сигналы различной частоты, можно построить частотную характеристику элемента.

Конкретный вид возмущения вызывает ту или иную реакцию элемента. Реакцию элемента на единичный ступенчатый сигнал называют переходной функцией h (t). Реакция элемента на δ(t) называется импульсной переходной или весовой функцией ω(t).

Переходную и импульсную переходную функции называют временными функциями элемента.

Реакция элемента на гармоническое возмущение выражается частотными функциями. Если на вход линейного элемента подать гармонический сигнал, то по истечении некоторого времени на выходе
появятся тоже гармонические колебания с той же частотой, но с другими амплитудой и начальной фазой (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Реакция элемента на гармоническое возмущение

При разных w коэффициент преобразования будет различным .

Различной будет и разность фаз

. (3.9)

Связь между параметрами возмущения и реакции при различных частотах описываются амплитудно-фазовой частотной характеристикой АФЧХ (комплексный коэффициент преобразования К_п(j w):

. (3.10)

Эту функцию можно записать, используя формулу Эйлера:

, (3.11)

где и – вещественная и мнимая частотные функции:

, (3.12)

. (3.13)

Следовательно, реакция элемента

. (3.14)

АФЧХ, или комплексный коэффициент преобразования элемента, изображается на комплексной плоскости в виде годографа (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Комплексный коэффициент преобразования

Конец вектора К_п(j ω) описывает на комплексной плоскости кривую (годограф), которая является АФЧХ. Вектор, проведенный из начала координат в любую точку годографа, укажет амплитуду и начальную фазу, соответствующие данной частоте ω₁. С увеличением частоты сказываются инерционные свойства элемента, и выходной сигнал уменьшается. Максимальный выходной сигнал имеет место при ω = 0, что соответствует обычной линейной статической характеристике управления. АФЧХ объединяет два вида характеристик: амплитудно-частотную и фазочастотную.

Реакция элемента на сигнал произвольной формы оценивается с помощью принципа суперпозиции. Для этого произвольный сигнал представляется разложением в ряд Фурье.

Каждая из гармоник рассматривается отдельно, а выходной сигнал определяется как сумма воздействия каждой из них. Любую из характеристик динамического режима можно определить по дифференциальному уравнению элемента. Если дифференциальное уравнение не известно, то эти характеристики можно определить экспериментально.

При анализе элементов или их систем, если известны их дифференциальные уравнения, динамические свойства могут быть оценены с помощью передаточных функций. Передаточная функция К_п(p) представляет собой отношение операторного изображения выходного сигнала к операторному изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях, когда в момент приложения возмущения (t = 0) элемент находился в состоянии покоя. При этом

(3.15)

где k = 0, 1, 2, …, n – порядок дифференциального уравнения.

Для элемента, описанного уравнением (3.1), передаточная функция примет вид

. (3.16)

Эта функция представляет собой коэффициент преобразования элемента, выраженный в операторной форме. Зная передаточную функцию К_п(p), можно определить все динамические характеристики элемента.

1. Переходная функция h (t).

Преобразование Лапласа единичной ступенчатой функции дает

. (3.17)

Изображение переходной функции имеет вид

h (p) = к_п(p)/ p. (3.18)

Получение оригинала

. (3.19)

Для стандартных функций изображения оригиналы находятся по специальным таблицам.

2. Импульсная переходная функция ω(t).