Задачи многокритериальной (векторной) оптимизации

В общем случае задача формулируется следующим образом. Найти вектор управляемых параметров, который обеспечивает одновременно максимальные (минимальные) значения нескольких частных критериев оптимальности, например:

….;

где область допустимых решений X задается системой ограничений вида

Анализ задач многокритериальной оптимизации значительно упрощается, если ввести понятие области критериев, которая определяется с использованием значений частных критериев оптимальности и представляется как множество

.

Область критериев Y является отображением множества допустимых решений X в p -мерное пространство , где R – множество вещественных чисел, причем каждому вектору соответствует .

Область критериев Y можно разделить на два подмножества:

Y = Y ^(c) È Y ^(к); Y ^(c) Ç Y ^(к) = Æ,

называемых областью согласия Y ^(c) и областью компромисса Y ^(к).

В области согласия нет противоречий между частными критериями оптимальности. Если Î Y ^(c), то соответствующая точка может быть изменена таким образом, что все частные критерии будут одновременно увеличены. В случае, когда область критериев Y = Y ^(c) состоит только из области согласия, то существует единственная точка , в которой все частные критерии оптимальности согласованы между собой, т.е. при движении к значения всех функций одновременно возрастают.

Такая ситуация на практике встречается очень редко. Наиболее типичным является случай, когда максимум по каждому частному критерию достигается в различных точках , где . В этих точках компоненты векторного критерия являются противоречивыми.

Такое противоречие означает, что для некоторой точки не существует ни одной другой точки , в которой для всех частных критериев () и хотя бы для одного критерия это неравенство строгое, т.е. . Очевидно, что в точке векторный критерий не может быть увеличен для всех частных критериев одновременно. Поэтому решение, соответствующее точке , называется неулучшаемым решением, или решением, оптимальным по Парето.

Оптимальность по Парето означает, что нельзя далее увеличить значение критерия , не уменьшая при этом хотя бы один из других частных критериев. Множество всех точек , оптимальных по Парето, соответствует значениям Î Y ^(к), составляющим область компромисса Y ^(к), и называется областью (множеством) Парето.

Таким образом, проблему поиска оптимальных решений по нескольким критериям называют векторной оптимизаций. Решение задачи векторной оптимизации , в котором значения всех частных критериев были бы пусть не оптимальными, но наилучшими по выполнению всех критериев одновременно, можно найти в области Парето X ₀. Такие решения называют эффективными, компромиссными или оптимальными по Парето, а область X ₀ Í X, в которой невозможно одновременное улучшение всех критериев, находится в области допустимых решений X задачи.

Следует заметить, что решение задач векторной оптимизации возникает ряд специфических проблем, к которым относятся:

- нормализация критериев, т.е. приведение их к единой шкале измерений, если частные критерии имеют различные единицы измерения;

- ранжирование критериев по приоритетам (их важности);

- выбор схемы компромисса, т.е. определение правила сравнения нескольких решений с векторными критериями оптимальности.

Число возможных схем компромисса является достаточно большим. Наиболее известные из них получают по методам обобщенного критерия, главного критерия, минимаксного критерия, последовательных уступок и др.