Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта более чаще употребляется, чем метод Эйлера, хотя и требует большего объёма вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что даёт возможность проводить счет с большим шагом, т.е. для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге-Кутта.

Геометрически этот метод для задачи (1),(2) также как и в методе Эйлера состоит в том, что на малом отрезке [ ] интегральная кривая уравнения (1) заменяется прямой, проходящей через точку , однако в основу положен более тонкий, чем в методе Эйлера, подход к определению направления этого отрезка прямой.

Обозначим через приближенное значение искомого решения в точке . По методу Рунге-Кутта вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам:

где

(3)

Шаг расчета можно поменять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага рекомендуем вычислить дробь

Величина не должна превышать нескольких сотых. В противном случае шаг следует уменьшить.

Все вычисления удобно располагать по схеме:

		+
…	…	…	…	…

Порядок заполнения таблицы:

1) Записываем в первой строке таблицы данные значения .

2) Вычисляем умножаем на и заносим в таблицу в качестве .

3) Записываем во второй строке таблицы .

4) Вычисляем , умножаем на и заносим в таблицу в качестве .

5) Записываем в третьей строке таблицы .

6) Вычисляем , умножаем на , заносим в таблицу в качестве .

7) Записываем в четвертой строке таблицы .

8) Вычисляем , умножаем на и заносим в таблицу в качестве .

9) В столбец записываем .

10) Суммируем числа, стоящие в столбце , делим на 6 и заносим в таблицу в качестве .

11) Вычисляем .

Затем все вычисления продолжают в том же порядке, принимая за начальную точку .

Содержание РГР "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений"

Студенту предлагается выполнить следующую работу:

1. Точное решение дифференциального уравнения.

2. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера.

3. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.

Варианты и образец выполнения РГР приведены ниже.

Варианты

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

17) .

18) .

19) .

20) .

21) .

22) .

23) .

24) .

25) .

26) .

27) .

28) .

29) .

30) .