Определение постоянной Стефана – Больцмана

Тепловое излучение и квантовая оптика

Лабораторная работа № 3-12

Определение постоянной Стефана – Больцмана

Приборы и принадлежности: пирометр ЛОП – 72; блок питания пирометра; вольтметр универсальный цифровой; амперметр; вольтметр; автотрансформатор.

Цель работы: ознакомиться с принципом действия оптического пирометра, определить температуру нагретого тела и вычислить постоянную Стефана – Больцмана.

Теоретическое введение

Всякое нагретое тело излучает энергию в виде электромагнитных волн различных длин (сплошной спектр). Полная энергия излучения и ее распределение по спектру зависят от температуры тела. Излучение тела, обусловленное возбуждением атомов и молекул, которое совершается в процессе их теплового движения, называется тепловым. Если в процессе теплового излучения энергия, излучаемая телом, точно компенсируется тем количеством теплоты, которое оно получает извне, то такой процесс излучения называют равновесным.

Тепловое излучение тел может быть охарактеризовано двумя основ­ными величинами: интегральной и монохроматической светимостями.

Энергетическая светимость R_т - это энергия, излучаемая телом с единицы поверхности за единицу времени во всем интервале длин волн:

, (5.1)

где W - полная энергия, излучаемая с поверхности S за время t; – поток энергии.

Спектральная плотность энергетической светимости – это энергия, излучаемая телом с единицы поверхности за единицу времени в единичном интервале длин волн l:

, (5.2)

где d - энергия, излучаемая телом с поверхности S за единицу времени в интервале длин волн от l до .

Из приведенных определений вытекает связь между энергетической светимостью и спектральной плотностью энергетической светимости:

. (5.3)

Из всей падающей на тело энергии монохроматического света (т.е. в интервале длин волн от l до ) часть энергии поглощается телом, часть энергии отражается. На основе закона сохранения энергии

. (5.4)

Разделив почленно правую и левую части равенства (5.4) на , получим

. (5.5)

Величина называется монохроматическим коэффициентомпоглощения тела. Он показывает, какую долю падающего монохроматического излучения данное тело поглощает.

Величина называется монохроматическим коэффициентом отражения тела. Он показывает, какую долю падающего монохроматического излучения данное тело отражает.

Для формирования закономерностей теплового излучения следует выбрать стандартный излучатель, с которым можно было бы сравнить излучение всех других тел. Таким стандартным излучателем выбирают абсолютно черное тело, т.е. тело, которое поглощает все падающее на него излучение. Для абсолютно черного тела a_l = 1. И хотя в природе абсолютно черных тел не существует (к ним приближаются платиновая чернь и сажа), однако модель абсолютно черного тела можно простроить искусственно. Это может быть почти замкнутая полость с небольшим отверстием. Луч, падающий на отверстие снаружи, внутри камеры будет претерпевать многократное отражение и полное поглощение. Если внутренние стенки полости нагреть до некоторой температуры, то отверстие камеры станет источником излучения, идентичного излучению абсолютно черного тела (А. Ч. Т.).

Теоретически и экспериментально установлено, что отношение спектральной плотности энергетической светимости тела к его монохроматическому коэффициенту поглощения есть величина постоянная для всех тел при данной температуре и для данной длины волны (закон Кирхгофа):

. (5.6)

Функция f (l, Т) не зависит от природы тела и является функцией лишь длины волны и температуры. Для абсолютно черного тела a_l = 1, поэтому

. (5.7)

Таким образом, величина f (l, Т) есть спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела. Для всех реальных (нечерных) тел a_l < 1 и

, (5.8)

то есть спектральная плотность энергетической светимости нечерного тела меньше светимости абсолютно черного тела при той же температуре Т.

Равенство (5.6) является выражением закона Кирхгофа в дифференциальной форме. В интегральной форме закон Кирхгофа имеет вид

. (5.9)

По формуле (5.9) можно определить энергетическую светимость R(T) любого тела, если известен коэффициент теплового излучения А(T), который находят опытным путем. Коэффициент А показывает, во сколько раз энергетическая светимость реального тела меньше энергетической светимости абсолютно черного тела при той же температуре. Значение коэффициента А зависит от природы тела, состояния его поверхности и температуры.

Энергетическую светимость R * (Т) абсолютно черного тела можно определить опытным путем или теоретически.

Основываясь на квантовой природе излучения, Планк установил, что
f (l, Т) определяется функцией (формулой Планка)

, (5.10)

где h - постоянная Планка; с - скорость света в вакууме; k - постоянная Больцмана.

Формулу Планка называют законом излучения абсолютно черного тела. Она описывает зависимость спектральной плотности энергетической светимости от температуры и длины волны теплового излучения (рис. 5.1). Используя формулу Планка, можно получить законы Стефана – Больцмана и Вина.

В результате интегрирования выражения (5.10) по длине волны от 0 до ¥ можно получить выражение для

, (5.11)

или ,

т.е. энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна 4-й степени его температуры. Этот закон носит название закона Стефана – Больцмана и был установлен вначале экспериментально. При этом

,

где s - постоянная Стефана – Больцмана. Энергетическая светимость нечерного тела

, (5.12)

где А – коэффициент теплового излучения.

Максимум спектральной плотности энергетической светимости тела определяется из условия

.

Отсюда получаем 1-й и 2-й законы Вина:

и . (5.13)

1-й закон Вина (закон смещения Вина): длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его температуре, т.е. максимум излучения с увеличением температуры смещается в сторону коротких длин волн (рис.5.1). Коэффициент

С₁ = 2,9×10^-3 м × К.

2-й закон Вина: максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела пропорциональна 5-й степени абсолютной температуры. Коэффициент

С₂ = 1,3×10^-5 .

Спектральные плотности энергетических яркости b ^*_l и светимости r ^*_l абсолютно черного тела, а также тел, которые равномерно рассеивают свет во все стороны, связаны соотношением

. (5.14)

Зависимости этих величин для нагретых тел от температуры может быть использована для определения температуры.

Однако непосредственное измерение спектральной плотности энергетической яркости представляет определенные трудности. Поэтому ограничиваются сравнением спектральных плотностей энергетических яркостей исследуемого и эталонного тел. Температура последнего должна быть известна. Для абсолютно черных тел равенству спектральных плотностей энергетических яркостей соответствует равенство их абсолютных температур. Спектральная плотность энергетической светимости реального тела меньше спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела при той же температуре (см. формулу 5.8). Поэтому реальное тело необходимо нагреть до более высокой температуры по сравнению с абсолютно черным, чтобы их спектральные плотности энергетических яркостей стали одинаковыми. Температура реального тела, определенная по равенству спектральных плотностей энергетических яркостей реального и абсолютно черного тел, называется яркостной. Яркостная температура Т _явсегда ниже его истинной температуры Т: Т = T _я + D Т.

Связь между яркостной и действительной температурами тела устанавливается соотношением

, (5.15)

где 1,432×10^-2м × К; h - постоянная Планка; С - скорость света в вакууме; k - постоянная Больцмана; а_lТ - монохроматический коэффициент теплового излучения тела, который равен отношению спектральных плотностей энергетических светимостей данного и абсолютно черного тел. Величина а_lТ зависит от материала, длины волны излучения и температуры нагретого тела.

На практике для определения действительной температуры удобнее пользоваться не формулой (5.15), а графиком зависимости , которая позволяет найти действительную температуру исследуемого тела по его яркостной температуре. Яркостную температуру исследуемого тела измеряют с помощью оптического пирометра.

Приборы, которые служат для определения температуры на основе законов теплового излучения, называются пирометрами. Схема лабораторной установки приведена на рис. 5.2.

Исследуемым накаленным телом является вольфрамовая спираль лампы 1. Электрическая цепь для нагревания вольфрамовой спирали 1 состоит из автотрансформатора 2, включенного в сеть с напряжением 220 В, вольтметра 3 и амперметра 4.

Порядок выполнения работы

1. Установить пирометр перед объектом, температуру которого измеряют, на расстоянии» 0,6 м.

2. Проверить, чтобы ручки реостатов 3 и 4 (см. рис. 5.3) были в крайнем левом положении.

3. Включить стаби-лизированный источник питания пирометра и цифровой прибор В7-22А.

4. Увеличивая ток накала пирометрической лампы реостатом 4, обеспечить видимое свечение нити пирометрической лампы, а с помощью окуляра 2 добиться ее четкого изображения.

5. Включить в сеть с напряжением 220 В автотрансформатор 2
(см. рис.5.2) и, поворачивая его рукоятку, довести спираль лампы (объекта исследования) до накаленного состояния. Вращая тубус объектива 1
(см. рис.5.3), добиться четкого изображения спирали. При этом изображения спирали лампы и нити пирометрической лампы, которые наблюдаются с помощью окуляра 2, должны быть одинаково четкими.

6. Установить сектор светофильтров в положение 1, а сектор поглотителей - согласно табл. 5.1

Таблица 5.1

7. Добиться одинаковых яркостей нити пирометрической лампы и вольфрамовой спирали, т.е. исчезновения нити на фоне спирали лампы, (объекта исследования), ручками реостатов 3 и 4.

8. Измерить силу тока I_н, который проходит по нити пирометрической лампы, с помощью прибора В7-22А.

Внимание! Ток, проходящий через нить пирометрической лампы, не должен превышать 460 mA. Если при максимальном значении тока, проходящего через пирометрическую лампу, яркость объекта измерения больше яркости нити пирометра, нужно установить поглотитель на больший предел измерения (см. табл. 5.1).

9. Измерить силу тока, проходящего по вольфрамовой спирали лампы, и напряжение на ней с помощью амперметра 4 и вольтметра 3 (см. рис. 5.2) и занести в таблицу измерений.

10. По силе тока накала I_н и пользуясь графиком , который дается к пирометру, определить яркостную температуру Т_я вольфрамовой спирали лампы.

11. По яркостной температуре Т_я с помощью графика , который дается на установке, определить действительную температуру Т.

12. Определить потребляемую, а значит, и излучаемую мощность накаленной спирали

Р = IU. (5.16)

Мощность, излучаемая с единицы поверхности накаленного тела, и есть энергетическая светимость

. (5.17)

13. Из формул (5.12), (5,16), (5.17) можно получить выражение для постоянной Стефана – Больцмана, Вт /( м²К⁴).

. (5.18)

Примечание. Площадь S излучающей поверхности вольфрамовой спирали лампы указана на установке. Для вольфрама коэффициенты
а_lТ = 0,43, А = 0,15.

14. Измерения выполнить для трех температур в интервале
1100 - 1500 К. Результаты занести в таблицу измерений.

15. Определить среднее значение постоянной Стефана – Больцмана
s_ср = .

Таблица измерений

Контрольные вопросы

Вариант 1

1. Дайте определение энергетической светимости и спектральной плотности энергетической светимости тел.

2. Нарисуйте график распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела.

3. Сформулируйте закон Кирхгофа для теплового излучения.

4. Задача. Определить коэффициент теплового излучения серого тела, которое имеет температуру 10³ К, если с его поверхности площадью
S = 10^-2 м² за 1 минуту излучается энергия 13,6 кДж.

Ответ: А = 0,4.

Вариант 2

1. Дайте определение монохроматических коэффициентов поглощения и отражения тел.

2. Почему температура реального тела, определенная с помощью пирометра ЛОП-72, называется яркостной?

3. Сформулируйте закон Стефана – Больцмана и выведите его исходя из формулы Планка.

4. Задача. Поверхность Солнца имеет температуру 6000 К. Определите мощность, излучаемую с 1м²; длину волны, которая соответствует максимуму спектральной плотности энергетической светимости; максимальную спектральную плотность энергетической светимости. Считать, что А = 1, постоянные в I и II законах Вина соответственно равны: м×К; Вт / (м²К⁴).

Ответ: R^* = 7,4 × 10⁷ Вт/м² ;l _max = 4,8 × 10 ^-7 м; Вт/м³.

Вариант 3

1. Дайте определение коэффициента теплового излучения тел.

2. Сформулируйте законы Вина.

3. Какое тело называется абсолютно черным? Существуют ли в природе абсолютно черные тела?

4. Задача. Определить температуру абсолютно черной теплопроводящей пластинки, расположенной за пределами земной атмосферы перпендикулярно лучам Солнца, если при этом каждый 1 см² пластинки излучает за одну минуту 8,2 Дж энергии. Излучение считать равновесным.

Ответ: Т = 394 К.

Лабораторная работа № 3 – 13