Занятие 9. Дисперсионный анализ-продолжение

Двухфакторный анализ.

Нулевая и альтернативная гипотезы те же, что и при анализе однофакторного комплекса.

Нулевая гипотеза: ₁ = ₂ = ₃ =... ₆ = , (т.е. различия между выборочными средними рядов случайны).

Альтернативная гипотеза: средняя выборочная хотя бы одной выборки отличается от генеральной средней.

Условия корректности проведения процедуры дисперсионного анализа также не меняются: случайность выборок, нормальность распределения вариант в выборках, отсутствие значимых различий между выборочными дисперсиями, независимость средней от вариансы в выборках.

Если соблюдается условие аддитивности компонент вариансы всего комплекса, то общая сумма квадратов отклонений вариант от генеральной средней в двухфакторном комплексе разлагается следующим образом: . Однако это обстоятельство ввиду случайности варьирования величин анализируемого показателя не соблюдается практически никогда.

Поэтому обычно проверяют полную раскладку общего квадрата:

, где SS_A - межгрупповая (факториальная) сумма квадратов, обусловленная различиями между выборками градаций фактора А, SS_B - межгрупповая (факториальная) сумма квадратов, обусловленная различиями между выборками градаций фактора B, SS_АB - сумма квадратов, обусловленная эффектами совместного воздействия факторов, а SS_W - внутригрупповая (остаточная, необъясненная) сумма квадратов, обусловлена варьированием признака внутри отдельных выборок.

Далее каждую из них необходимо связать с соответствующей степенью свободы, т.е. определить средние квадраты отклонений. Расчет проводится по следующей схеме.

(Презентация с расчетами/без)

Ход анализа:

1.Расчет соответствующих сумм квадратов отклонений:

сумма вариант в ячейке дисперсионного комплекса; общая сумма вариант комплекса; общая сумма квадратов вариант комплекса; N – объем комплекса; n_i – число вариант в каждой ячейке, a – число градаций по фактору А; b – число градаций по фактору B.

, где

сумма вариант по каждой градации фактора А; n_a – число вариант по каждой градации фактора А.

где сумма вариант по каждой градации фактора В; n_b – число вариант по каждой градации фактора В.

2. Расчет числа степеней свободы и дисперсий:

.

3. Оценка F-статистики и сравнение с критическим значением одностороннего F-критерия для выбранного уровня значимости (показаны условия принятия альтернативной гипотезы):

³

³

³

³

Если условие (в различных сочетаниях) соблюдается, то следует признать, что примененная организация комплекса обуславливает достоверную неоднородность сравниваемых выборок.

Пример. Изучалось влияние солености и глубины на распределение плотности моллюсков Macoma calcarea (Таблица 1). Для этого в акватории с соленостью 16 г/л на 6 станциях на глубинах от 0.5 до 3 м взяли по 5 выборочных площадок площадью 0.1 м², в каждой из которых посчитали количество моллюсков (табл. 9). Аналогичную съемку осуществили в акватории с соленостью 24 г/л. Таким образом, был создан двухфакторный равномерный (в каждой ячейке по 5 вариант) дисперсионный комплекс: фактор А – глубина, число градаций по фактору А (а) равно 6, фактор В – соленость, число градаций по фактору (b) равно 2. Предположим, что соблюдаются все условия корректности проведения дисперсионного анализа.

Таблица 1.

Нулевая гипотеза: ₁ = ₂ = ₃ =... ₆ = , (т.е. различия между выборочными средними рядов случайны).

Альтернативная гипотеза: средняя выборочная хотя бы одной выборки отличается от генеральной средней.

Основой для анализа примем следующую раскладку общего квадрата отклонений:

Соответствующие суммы квадратов отклонений равны:

; ; ; n_i=5; a=6; b=2; n_a=10; n_b=30

SS_x=

SS_A=

ss_В=

SS_AB=3420.328-3317.734-3.266=99.328

SS_w=3665,933-3420.328=245,605

Соответствующие числа степеней свободы и дисперсии равны:

n_t=N-1=60-1=59

n_A=a-1=6-1=5

n_B=b-1=2-1=1

n_AB=

Затем рассчитаем величины F-статистики и сравним их с критическими значениями одностороннего F-критерия для выбранного уровня значимости:

=663.55/5.12= 129.68 >

=3.27/5.12=0.64 <

=19.87/5.12=3.88 >

На данном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается при сравнении выборок с разных глубин и при анализе совместного влияния глубины и солености. Не выявлено достоверной неоднородности анализируемого комплекса, обусловленной влиянием на исследуемый признак (плотность моллюсков) солености.

2. Двухфакторный дисперсионный анализ с помощью приложения «Анализ данных» в Microsoft Excel

Для проведения двухфакторного дисперсионного анализа также можно воспользоваться приложением «Анализ данных» в Microsoft Excel.

Выбираем раздел меню «Данные»-«Анализ данных»-«Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями» (Рис. 1).

В появившимся окне указываем диапазон ячеек с данными по всем выборкам («Входной интервал»). Диапазон ячеек выделяем вместе с названием столбцов (градации фактора А) и названием строк (градации фактора В). В окошке «Число строк для выборки» указываем объем отдельной выборки (в нашем случае 5), как показано на Рис. 2. Нажимаем «ОК» и получаем две таблицы с результатами (Таблица 2)

Табл. 2. Итоги двухфакторного дисперсионного анализа, проведенного с помощью "Анализа данных".

Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями

Преобразуем итоговую таблицу (Таблица 3).

Табл. 3. Итоги двухфакторного дисперсионного анализа, проведенного с помощью "Анализа данных" (Преобразованная таблица).

Дальнейший анализ существенности влияния на исследуемый признак глубины и совместного влияния глубины и солености может быть продолжен в ходе оценки значимости силы влияния факторов на признак. Как и в случае однофакторного дисперсионного анализа можно оценить силу влияния значимого для исследуемого признака фактора (в нашем случае глубины и совместного влияния факторов). Расчет производится по аналогичной для однофакторного анализа схеме.

Пример. Оценим силу влияния глубины и совместного воздействия факторов на численность маком.

=

Результаты анализа представим в табличной форме (Табл. 4)

Нулевая гипотеза: влияние фактора соизмеримо с ошибкой оценки и потому вывод о достоверности отличия силы влияния от 0 не надежен.

На: сила влияния фактора больше 0.

Таблица 4. Оценка силы влияния фактора (глубины и совместного влияния солености и глубины) на численность моллюсков

В результате мы отвергаем нулевую гипотезу в отношении силы влияния глубины на численность моллюсков и принимаем в отношении силы совместного влияния факторов.

В результате проведенных исследований оказалось, что на количественное распределение моллюсков достоверное влияние оказывает только глубина.