Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Примеры. Евклидово пространствоСтр 1 из 2Следующая ⇒ Евклидово пространство Евклидово пространство – это линейное пространство с некоторым образом введенной операцией «скалярного произведения». 1°. Определение и простейшие свойства. Определение 1. Линейное пространство над полем вещественных чисел R называется евклидовым пространством E, если определено правило, ставящее им в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением и , обозначаемое , и удовлетворяющее следующим аксиомам: 1) коммутативность: выполняется ; 2) дистрибутивность: выполняется ; 3) и выполняется ; 4) выполняется , причем Примеры. 1) Множество геометрических векторов с обычным образом определенным скалярным произведением векторов (см. свойства скалярного произведения) образует евклидово пространство. 2) Множество непрерывных на отрезке функций образует евклидово пространство, если скалярное произведение задается формулой: Свойство 1) скалярного произведения очевидно, 2) и 3) следуют из линейности интеграла, 4) следует из того, что от неотрицательной функции неотрицателен и равен нулю только если . 3) Пространство упорядоченных вещественных чисел образует евклидово пространство со скалярным произведением, задаваемым следующей формулой: если и из , то (1) Свойство 1) − очевидно, свойства 2) и 3) следуют из определения сложения векторов в и умножения на число, т.е.
; . Свойство 4) следует из того, что и равно нулю лишь тогда когда , т.е. . 4) Пусть − матрица над ипусть – симметричная, т.е. . Для любого используем для построения квадратичной формы . Будем предполагать, что такая форма положительно определена, т.е. она больше нуля и равна нулю лишь если . Такую матрицу можно использовать для задания скалярного произведения в следующим образом: , . (2) Свойство 1) следует из симметричности матрицы , 2) и 3) − из свойств вещественных чисел, 4) − из положительной определенности соответствующей квадратичной формы. Замечание 1. Формула (1) Þ из (2) при − единичная матрица. В общем виде скалярное произведение можно задать с помощью квадратичной формы, определенной в линейном пространстве. А именно, пусть – положительно определенная квадратичная форма, – её полярная форма. Тогда в силу свойств квадратичной формы имеем: 1°. ; 2°. ; 3°. ; 4°. . Как видно, эти аксиомы совпадают с аксиомами скалярного произведения Þ Предложение 1. Скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме, и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение. Þ Определение скалярного произведения может быть сформулировано как: Определение 1'. Евклидовым пространством называется линейное пространство, в котором выбрана какая–либо фиксированная положительно определенная форма . Значение соответствующей ей билинейной формы считается при этом скалярным произведением векторов (оно ранее обозначалось как , а не ). Теорема 1 (неравенство Коши–Буняковского). Для любых элементов евклидового пространства справедливо неравенство: . (3) Неравенство (3) называется неравенством Коши–Буняковского. Доказательство. По аксиоме 4) евклидова пространства справедливо //так как квадратный трехчлен по неотрицателен дискриминант // ■ Определение 2. Линейное пространство называется нормированным, если определено правило, по которому ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое , удовлетворяющее следующим трем аксиомам: 1) . 2) . 3) справедливо (неравенство треугольника или неравенство Минковского). Теорема 2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму элемента определить равенством Доказательство. Проверим свойства нормированного пространства: аксиома 1) следует из 4) евклидова пространства, 2) следует из аксиом 1) и 3) евклидова пространства, 3) следует из неравенства Коши–Буняковского. Действительно, . ■
|