Механическое выравнивание временного ряда. Скользящие средние

Один из наиболее простых приемов сглаживания заключается в расчете скользящих, или, как иногда их называют, подвижных средних. Применение последних, позволяет сгладить периодические и случайные колебания и тем самым выявить присутствующую в развитии тенденцию.

Пусть динамический ряд состоит из уровней y_t, t = 1,..., n. Для каждых m последовательных уровней этого ряда (т < n) можно подсчитать среднюю величину. Вычислив значение средней для первых т уровней, переходят к расчету средней для уровней y ₂ ,..., y_т+i, затем y ₃,..., y_{m +2} и т. д. Таким образом, интервал сглаживания, т. е. интервал, для которого подсчитывается средняя, как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. Если т нечетное число, а предпочтительнее брать именно нечетное число уровней, поскольку в этом случае расчетное значение уровня окажется в центре интервала сглаживания и им легко заменить конкретное фактическое значение, то для определения скользящей средней можно записать следующую формулу:

, (3.3)

где – значение скользящей средней для момента t, y_i – фактическое значение уровня в момент i; i – порядковый номер уровня в интервале сглаживания; m – интервал сглаживания (период скольжения).

Величина р легко определяется из продолжительности интервала сглаживания. Поскольку т = 2р + 1 при нечетном т, то

. (3.4)

Выбор периода скольжения имеет большое значение, особенно, если в изучаемом ряду имеются циклические колебания. В этом случае период скольжения должен быть равным, либо кратным периоду колеблемости. Если циклических колебаний не наблюдается, то рекомендуется выполнить несколько вариантов выравнивания: начать с расчета скользящей средней с минимальным периодом скольжения и постепенно увеличивать период сглаживания, пока основная тенденция не проявится достаточно отчетливо. Средние, рассчитанные по большому периоду, лучше сглаживают случайные колебание. Но использование многочленных скользящих средних может быть ограничено незначительной продолжительностью исходного ряда. Необходимо учитывать, что использование метода скользящих средних приводит к получению укороченного временного ряда.

В рамках курсового проекта требуется провести сглаживание динамического ряда 3-х и 5-ти членными скользящими средними (если это позволяет длина динамического ряда).

Для начала работы воспользуемся уже известным нам меню Statistics/Advanced Linear/Nonlinear Models/Time Series/Forecasting. Напомним, что работать необходимо с переменной, по которой будет вестись прогнозирование.

В появившемся окне указываем переменную, с которой будем работать («ВГ2001-2010), нажимаем на кнопку ОК (transformations, autocorrelations, crosscorrelations, plots) и затем выбираем закладку Smoothing (рис. 3.1.).

На данной закладке мы выбираем опцию N -точечной скользящей средней N-pts Moving Average. Для получения 3-х членной скользящей средней в поле интервала сглаживания N ставим цифру 3 (N = 3). Далее нажимаем на кнопку ОК (Transform selected series), система автоматически строит графическое изображение, выраженное скользящей средней с заданными параметрами, которое мы удаляем за ненадобностью. Далее возвращаемся к анализу (кнопка в левом нижнем углу экрана). В информационном поле находятся не только исходная переменная, но и вновь созданная 3-х членная скользящая средняя (3pt.mov.aver). Выбираем в информационном поле исходную переменную, меняем период скольжения (N=5) (рис. 3.2), опять нажимаем на кнопку ОК (Transform selected series), удаляем построенное изображение и возвращаемся к анализу.

Рис. 3.1. Вид закладки Smoothing процедуры Transformation of Variables

Рис. 3.2. Вид закладки Smoothing процедуры Transformation of Variables с построенной 3-х членной скользящей средней

В информационном поле содержится уже 3 переменных (рис. 3.3). Далее нажимаем кнопку Save variables, и система переносит расчетные значения на отдельный рабочий лист, который необходимо добавить в исходную рабочую книгу (см. рис. 2.26), а затем скопировать туда ось времени (рис. 3.4).

Рис. 3.3. Информационное поле с 3-х и 5-ти членными скользящим средними

Рис. 3.4. Исходный динамический ряд и скользящие средние

Для наглядного отображения механического выравнивания представим сглаживание скользящими средними графически. Для этого выделяем столбцы с исходными данными и скользящими средними, щелкаем по ним правой кнопкой мыши и выбираем процедуру Graphs of Block Data/Line Plot: Entire Columns (рис. 3.5). В результате получаем график, на котором исходный динамический ряд сглажен 3-х и 5-ти членными скользящими средними (рис. 3.6).

Рис. 3.5. Построение графиков на основе данных столбцов

Рис. 3.5. Динамический ряд, сглаженный 3-х и 5-ти членными скользящими средними

На графике отчетливо видно, что выравнивание позволяет сгладить небольшие колебания 2005 и 2006 года, а также аппроксимировать значительные отклонения 2008 и 2009 года.

Простые скользящие средние – относительно грубый статистический прием выявления тенденции. В ряде случаев сглаживание с помощью простой скользящей средней оказывается настолько сильным, что тенденция развития проявляется лишь в самом общем виде, а отдельные важные для экономического анализа детали теряются. Часто после сглаживания мелкие волны или вообще исчезают, или меняют свой знак, т. е. вместо выпуклого участка на кривой получают вогнутый, и наоборот.

Более тонкий прием, базирующийся на той же самой идее, что и простые скользящие средние, заключается в применении взвешенных скользящих средних, экспоненциального сглаживания. Поскольку процедура экспоненциального сглаживания чаще используется при решении задач прогнозирования, в данном учебном пособии мы не будем ее рассматривать[2].