Раздел1 «Линейные пространства»

1. Проверить, является ли данное множество линейным пространством:

1.1. Множество всех векторов, параллельных фиксированной плоскости.

1.2. Множество всех векторов, параллельных фиксированной прямой.

1.3. Множество геометрических векторов а̅ (x,y,z), координаты которых удовлетворяют условию х+y+z=0.

1.4. Множество всех матриц размера 2×3.

1.5. Множество невырожденных матриц третьего порядка.

1.6. Множество вырожденных матриц третьего порядка.

1.7. Множество многочленов степени не выше третьей.

1.8. Множество многочленов Р(t)=a₀+a₁t+a₂t² с положительными коэффициентами.

1.9. Множество расходящихся последовательностей.

1.10. Множество радиус-векторов, концы которых находятся на фиксированной прямой.

2. Доказать, что каждая из двух систем векторов образует базис и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:

e̅₁ (1,2,1), e̅₂ (2,3,3), e̅₃ (3,7,1);

e̅₁̍ (3,1,4), e̅₂̍ (5,2,1), e̅₃̍ (1,1,-6)

3. Векторы e̅₁(1,1,1), e̅₂(1,1,2), e̅₃(1,2,3) и х̅(6,9,14) заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e̅₁, e̅₂, e̅₃ образуют базис, и найти координаты вектора х̅ в этом базисе.

4. Доказать, что каждая из систем многочленов 1, х, х² и 1-х, 2х-х², -3х образует базис в пространстве многочленов степени не выше второй, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.

5. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если

- поменять местами два вектора первого базиса?

- поменять местами два вектора второго базиса?

6. В пространстве геометрических векторов V₃ дана система векторов

e̅₁= 2i̅ + j̅ - 3k̅, e̅₂= 3i̅ + 2j̅ - 5k̅, e̅₃= i̅ - j̅ + k̅. Доказать, что данная система образует базис в V₃, составить матрицу перехода от базиса i̅, j̅, k̅ к базису e̅₁, e̅₂, e̅₃ и найти координаты вектора х̅=6 i̅ +2 j̅ - 7k̅ в базисе e̅₁, e̅₂, e̅_3.

7. Дана матрица перехода от базиса e̅₁, e̅₂, e̅₃ к базису e̅₁̍, e̅₂̍, e̅₃̍. Найти координаты векторов e̅₁, e̅₂, e̅₃ в базисе e̅₁̍, e̅₂̍, e̅₃̍.

1 0 1

Т= 0 0 2

-1 3 0

8. Найти координаты многочлена t²-t+2 в базисе 1,t-1, (1-t)².

9. Доказать, что если системы векторов

Е: e̅₁, e̅₂ ,…e̅_n,

Е̍: e̅₁̍, e̅₂̍,…e̅_n̍,

Е̍ ̍: e̅₁̍ ̍, e̅₂̍ ̍,…e̅_n̍ ̍

образуют базисы в пространстве V_n, то справедливо матричное равенство: Т _{Е→ Е̍ ̍} =Т _{Е→ Е̍} Т _{Е̍→ Е̍ ̍}.

10. Установить, является ли изоморфизмом данное отображение V₃ на R₃:

10.1. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (2x –y, z, x+y+z)

10.2. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y -1, 2z, 3y)

10.3. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y, -y+2z, x+2y-2z)

Ответы к разделу 1

1. 1.1 является. 1.2. является. 1.3. является. 1.4 является. 1.5. не является. 1.6.не является. 1.7. является. 1.8.не является. 1.9.не является 1.10 является, если прямая проходит через начало координат

2. х₁=-27х₁̍ - 71 х_2̍̍- 41х₃̍

х₂=9х₁̍ + 20 х_2̍̍ + 9х₃̍

х₃=4х₁̍ + 12 х_2̍̍ + 8х₃̍

3. х̅(1,2,3)

4. Матрица перехода

1 0 0

-1 2 -3

0 -1 0

5. Поменяются местами две строки; поменяются местами два столбца.

6. Ответ

7. Ответ

8. (2,1,1)

9. Указание: воспользоваться определением матрицы перехода.

10. 10.1. является

10.2. не является, так как нарушено условие линейности отображения.

10.3. не является, так как нарушено условие взаимной однозначности отображения.

Раздел 2 «Линейные подпространства и линейные многообразия»

1. Проверить, являются ли заданные множества линейными подпространствами; указать какой-нибудь базис и размерность линейных подпространств:

1.1. Множество всех геометрических векторов из V₃, компланарных фиксированной плоскости.

1.2. Множество геометрических векторов из V₃, удовлетворяющих условию (͞х,͞а)=0, где͞ а-фиксированный вектор.

1.3. Множество всех геометрических векторов из V₃, удовлетворяющих условию | ̅х̅ | =1.

1.4. Множество всех векторов из R_n вида: ̅х=(0, х₂, 0, х₄, х₅,…х_n)

1.5. Множество всех симметрических матриц порядка n.

1.6. Множество решений линейной однородной системы уравнений

x₁+2x₂ – x₃+x₄ - 3x₅=0

x₂ –4 x₃+x₅=0

1.7. Множество всех векторов из R_n, координаты которых удовлетворяют условию: х₁=х_n.

2. Найти размерность линейной оболочки L(x̅₁, x̅₂) арифметических векторов x̅₁(1, 0, 2, -1), x̅₂(0, -1, 2, 0). Показать, что вектор x̅(1, -1, 4, -1) принадлежит оболочке.

3. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅₁(1, 0, 0, -1), x̅₂(2, 1, 1, 0), x̅₃(1, 1, 1, 1), x̅₄(1, 2, 3, 4), x̅₅(0, 1, 2, 3).

4. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅₁(1, 1, 1, 1, 0), x̅₂(1, 1, -1, -1, -1), x̅₃(2, 2, 0, 0, -1), x̅₄(1, 1, 5, 5, 2), x̅₅(1, -1, -1, 0, 0).

5. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅₁, x̅₂) и L(y̅₁, y̅₂):

x̅₁(1, 2, 1, 0), x̅₂(-1, 1, 1, 1);

y̅₁(2, -1, 0, 1), y̅₂(1, -1, 3, 7)

6. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅₁, x̅₂, x̅₃) и L(y̅₁, y̅₂):

x̅₁ (1, 2, -1, -2), x̅₂ (3, 1, 1, 1), x̅₃ (-1, 0, 1, -1);

y̅₁ (2, 5, -6, -5), y̅₂ (-1, 2, -7, -3)

7. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки

L(а̄) и многообразия L(а̄) +b̅, если а̄= -2i̅ + j̅ - k̅, b̅= 2i̅ - j̅.

8. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки

L(а̄₁, a̅₂) и многообразия L(а̄₁, a̅₂) + b̅, если а̄₁= -i̅ + j̅ + k̅, а̄₂=2 j̅ - k̅ b̅= i̅ + k̅.

9. Задана система уравнений

x₁+ x₂ – 3x₃ - x₄ + x₅=1

3x₁- x₂ + x₃ + 4x₄ + 3x₅=4

x₁- 5x₂ - 9x₃ - 8x₄ + x₅=0.

Доказать, что множество решений этой системы есть линейное многообразие в пространстве R₅.Сдвигом какого подпространства получается это линейное многообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого подпространства. Найти какой-нибудь вектор сдвига.

Ответы к разделу 2

1. 1.2. является, dimL=1, 1.3.не является, 1.4. является, dimL=n-2, 1.5. является, dimL=n² - C_n², 1.6. является, dimL=3, 1.7.является, dimL=n-1

2. dimL=2.

3. dimL=2

4. dimL=3.

5. Размерность пересечения равна 1, базисный вектор имеет координаты z̅ (5, -2, -3, -4); размерность суммы равна 3, базис составлен, например, из векторов z̅, x̅₁, y̅₁.

6. Сумма совпадает с первым пространством, пересечение – со вторым.

7. Линейная оболочка – прямая, проходящая через точку (0, 0, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1), линейное многообразие - прямая, проходящая через точку (2,-1, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1)

8. Линейная оболочка – плоскость -3x – y - 2z =0, линейное многообразие – плоскость -3x – y - 2z + 5=0.

9. Множество решений неоднородной системы есть линейное многообразие, полученное из подпространства размерности 3 решений соответствующей однородной системы сдвигом на произвольное частное решение неоднородной системы.

10. Доказать, что пространство R_n есть прямая сумма двух линейных подпространств: L₁, заданного уравнением х₁+х₂+…+х_n=0 и L₂, заданного системой уравнений х₁=х₂=…=х_n.

11. Пусть линейное пространство L является прямой суммой линейных подпространств L₁ и L₂. Доказать, что размерность L равна сумме размерностей подпространств L₁ и L₂, причем любые базисы L₁ и L₂ дают вместе базис L.

12. Доказать, что сумма L линейных подпространств L₁ и L₂ тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x̅, принадлежащий L, представляется в виде x̅= x̅₁+ x̅₂, где x̅₁ принадлежит L₁, x̅₂ принадлежит L₂.

Раздел3 «Евклидовы пространства»

1. Пусть͞ х(х₁, х₂), ȳ(y₁, y₂) - произвольные векторы арифметического пространства R₂. Проверить, можно ли следующими способами определить скалярное произведение в R₂:

1.1. (x̄,ȳ) = 2 х₁ y₁+ 5 х₂ y₂;

1.2. (x̄,ȳ) = х₁ y₁+ х₁ y₂+ х₂ y₁+ х₂ y₂.

Записать неравенство Коши – Буняковского в тех случаях, где это возможно.

2. Доказать, что в пространстве многочленов не выше n-1 степени скалярное произведение многочленов

p(t)=a₀+a₁t+…+a_n-1t^n-1 и

q(t)=b₀+b₁t+…+b_n-1t^n-1

можно определить следующим способом:

(p,q)= a₀b₀+a₁b₁+…+a_n-1b_n-1

Написать неравенство Коши – Буняковского, неравенства треугольника для этого пространства.

3. Найти нормированный вектор, ортогональный к векторам: (1,1,1,1), (1,-1,-1,1), (2,1,1,3).

4. Проверить, что векторы следующей системы попарно ортогональны:

x̅₁(1, 1, 1, 2), x̅₂(1, 2, 3, -3)

5. Построить ортонормированный базис пространства, приняв за два вектора этого базиса векторы (1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2) и (1∕6, 1∕6, 1∕2, -5∕6).

6. Посредством процесса ортогонализации, найти ортогональный базис подпространства, натянутого на данные системы векторов:

6.1. x̅₁(1,2,2,-1), x̅₂(1,1,-5,3), x̅₃(3,2,8,-7)

6.2. x̅₁(1,1,-1,-2), x̅₂(5,8,-2,-3), x̅₃(3,9,3,8)

7. Проверить ортогональность следующей системы векторов и дополнить ее до ортогонального базиса:

x̅₁(1,-2,1,3), x̅₂(2,1,-3,1)

8. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x̅(4,-1,-3,4) на линейное подпространство L, натянутое на векторы ē₁(1,1,1,1), ē₂(1,2,2,-1), ē₃(1,0,0,3).

9. Найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы:

ē₁(1,0,2,1), ē₂(2,1,2,3), ē₃(0,1,-2,1).

10. Доказать, что в действительном евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора, а также ей обратная: два вектора x̅ и y̅ ортогональны тогда и только тогда, когда | x̅ - y̅ |²= | x̅ |²+ | y̅ |².

Ответы к разделу 3

1. 1.1.можно, 1.2.нельзя

2. Ответ

3. (0, 1 ∕√2, -1 ∕√2, 0)

4.

5. За остальные два вектора можно взять, например, 1∕√26(0, -4, 3, 1) и 1∕√234(-13, 5, 6, 2).

6. 6.1. (1,2,2,-1), (2,3,-3,2), (2,-1, -1, -2), 6.2. (1,1,-1,-2), (2,5,1,3)

7. (-4,2,-1,3), (2,4,3,1)

8. Ортогональная проекция (1,-1,-1,5), ортогональная составляющая (3,0,-2,-1)

9. Базис ортогонального дополнения (2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)

Раздел4 «Линейные операторы»

1. Установить, какие из заданных отображений пространства V₃ являются линейными операторами, выписать их матрицы в базисе i̅, j̅, k̅:

1.1. Аx̅ = λx̅.

1.2. Аx̅ = λx̅ +a̅, λ и a̅ фиксированы.

1.3. Аx̅ =(x̅, e̅) e̅, где e̅ - заданный единичный вектор.

1.4. Аx̅ = [ a̅, x̅], где a̅- фиксированный вектор.

1.5. Аx̅ = (y+z) i̅ + (2x+z) j̅ +(3x-y+z) k̅, где x̅ = x i̅ +y j̅ +z k̅.

2. Установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R₃ в себя являются линейными, выписать их матрицы в каноническом базисе:

2.1. Аx̅ = (x₂+x₃, 2x₁+x₃, 3x₁-x₂+x₃)

2.2. Аx̅ = (x₁, x₂+1, 2+x₃)

2.3. Аx̅ = (0, x₂-x₃, 0)

3. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени не выше n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами, найти матрицу этого преобразования в базисе 1,х, х²,…хⁿ.

4. В пространстве L₄ задан линейный оператор, матрица которого в некотором базисе e̅₁, e̅₂, e̅₃, e̅₄ равна

1 2 0 1

А = 3 0 -1 2

2 5 3 1

1 2 1 3

Найти матрицу оператора в базисе e̅₁, e̅₁+ e̅₂, e̅₁+ e̅₂+ e̅₃, e̅₁+ e̅₂+ e̅₃+ e̅₄

5. В пространстве L₃ заданы два базиса:

e̅₁̍ = 8e̅₁ - 6e̅₂ + 7e̅₃, e̅₂̍=-16e̅₁ +7e̅₂ -13e̅₃, e̅3=9e̅₁ - 3e̅₂ + 7e̅₃

e̅₁̍ ̍= e̅₁ - 2e̅₂ + e̅₃, e̅₂̍ ̍= 3e̅₁ - e̅₂ + 2e̅₃, e̅₃̍ ̍=2e̅₁ + e̅₂ + 2e̅₃.

Найти матрицу оператора в базисе e̅₁̍ ̍, e̅₂̍ ̍,, e̅₃̍ ̍, если его матрица в базисе e̅₁̍, e̅₂̍, e̅₃̍ имеет вид

1 -18 15

А̍ = -1 -22 20

1 -25 22

6. В пространстве L₂ оператор А в базисе a̅₁(1,2), a̅₂(2,3) имеет матрицу

3 5

A = 4 3,

а оператор В в базисе b̅₁(3,1), b̅₂(4,2) имеет матрицу

4 6

В = 6 9.

Найти матрицу оператора А+В в базисе b̅₁, b̅₂.

7. Описать ядро и образ линейного оператора, действующего в пространстве V₃: Аx̅ =(x̅, e̅) e̅, где e̅ - заданный единичный вектор.

8. Описать ядро и образ линейного оператора, действующего в пространстве V₃: Аx̅ = [ a̅, x̅], где a̅- фиксированный вектор.

9. Для линейного оператора, действующего в пространстве R₃, определить ранг и дефект, а также найти базисы ядра и образа:

Аx̅ = (x₁+2x₂+x₃, x₁- x₃, x₁+ x₂).

10. Доказать, что оператор невырожденный тогда и только тогда, когда его дефект равен нулю, а, следовательно, ранг совпадает с размерностью пространства.

11. Найти собственные значения и собственные векторы оператора проектирования на плоскость Oxy в пространстве V₃.

12. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

2 -1 2

А = 5 -3 3

-1 0 -2

13. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

0 1 0

А = -4 4 0

-2 1 2

14. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

4 -5 2

А = 5 -7 3

6 -9 4

15. Выяснить, какие из матриц линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису, найти этот базис и соответствующую ему матрицу:

15.1.

-1 3 -1

А= -3 5 -1

-3 3 1

15.2.

6 -5 -3

А= 3 -2 -2

2 -2 0

Ответы к разделу 4

1. 1.1.является, матрица оператора

λ 0 0

А = 0 λ 0

0 0 λ

1.2.не является

1.3.является оператором проектирования на ось

1.4.является, если a̅ = a₁i̅ +a₂j̅ +a₃k̅, то матрица перехода

0 -a₃ a₂

А= a₃ 0 -a₁

-a₂ a₁ 0

1.5. является, матрица оператора

0 1 1

А = 2 0 1

3 -1 1

2. 2.1.является, матрица оператора

0 1 1

А = 2 0 1

3 -1 1

2.2. не является.

2.3. является, матрица оператора

0 0 0

А = 0 1 -1

0 0 0

3. матрица оператора

0 1 0 … 0

0 0 2 … 0

А= … … … … …

0 0 0 … n

0 0 0 … 0

4. Матрица оператора

-2 0 1 0

А = 1 -4 -8 -7

1 4 6 4

1 3 4 7

5. Матрица оператора в базисе e̅₁̍ ̍, e̅₂̍ ̍,, e̅₃̍ ̍ имеет вид

1 2 2

А̍ ̍= 3 -1 -2

2 -3 1

6.Матрица оператора А+В

44 44

А+В= -29,5 -25

7. Ядро оператора - двумерное подпространство векторов, ортогональных вектору e̅, образ оператора - одномерное подпространство векторов, коллинеарных вектору e̅.

8. Ядро оператора - одномерное подпространство векторов, коллинеарных вектору a̅, образ оператора - двумерное подпространство векторов, ортогональных вектору a̅.

9. Дефект оператора равен 1, ранг оператора равен 2. В качестве базиса

образа оператора могут быть выбраны, например, векторы e̅₁(1,1,1), e̅₂(2,0,1,), в качестве базиса ядра оператора может быть выбран, например, вектор e̅(1,-1,1).

11.λ₁=1, собственные векторы– векторы, компланарные плоскости Oxy; λ₂=0, собственные векторы- векторы, ортогональные плоскости Oxy.

12. λ=-1, x̅=t(1,1,-1)^т.

13. λ=2, x̅=t₁(1,2,0)^т+ t₂(0,0,1)^т.

14. λ₁=1, x̅_λ1=t (1,1,1)^т

λ₂=0, x̅_λ2=s (1,2,3)^т

15.

1 0 0

15.1. А= 0 2 0

0 0 2,

Базис образуют, например, векторы e̅₁(1,1,1), e̅₂(1,0,0), e̅₃(1,0,-3).

16. Матрица к диагональному виду не приводится.

Раздел 5 «Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением»

1. Линейный оператор А в базисе e̅₁(1,0), e̅₂(1,1) имеет матрицу

1 2

А= 1 -1.

Найти матрицу сопряженного оператора в базисе e̅₁, e̅₂, если векторы e̅₁, e̅₂ заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе.

2. Линейный оператор А в базисе e̅₁(1,2,1), e̅₂(1,1,2), e̅₃(1,1,0) имеет матрицу

1 1 3

А = 0 5 -1

2 7 -3.

Найти матрицу сопряженного оператора в базисе e̅₁, e̅₂, e̅₃, если векторы e̅₁, e̅₂, e̅₃ заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе.

3. Вычислить Аⁿ, если

1 1

А= 0 2

4. Доказать, что операция * перехода от оператора А к сопряженному оператору А* обладает следующими свойствами

4.1. (А*)*=А

4.2. (А+В)*=А*+В*

4.3. (АВ)*=В*А*

4.4. (kA)*=kA*

5. В пространстве многочленов степени не выше второй задано скалярное произведение: (f,g)=a₀b₀+a₁b₁+a₂b₂, где f(t)=a₀+a₁t+a₂t². Найти матрицы оператора дифференцирования D и сопряженного оператора D* в базисе 0.5t²-0.5t, t²-1, 0.5t²+0.5t.

6. Выяснить, можно ли с помощью перехода к новому базису диагонализировать оператор А, заданный своей матрицей в некотором фиксированном базисе. Найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы

6.1. 1 1 1

А= 1 1 1

1 1 1

6.2. 2 -1 2

А= 5 -3 3

-1 0 -2

7. Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей

11 2 -8

А= 2 2 10

-8 10 5

Ответы к разделу 5

1.

3 6

А* = -1 -3

2.

-83 -59 -45

А = 107 83 67

14 10 3

3. 1 2ⁿ-1

Aⁿ = 0 2ⁿ

5. -1.5 -2 -0.5

D= 0.5 0 -0.5

0.5 2 1.5

6. 6.1. 3 0 0

А= 0 0 0

0 0 0

Базис e₁(1,1,1), e₂(1,0,-1), e₃(0,1,-1).

6.2. матрица оператора не диагонализируется

7. 9 0 0

0 -9 0

0 0 18

Базис e₁(2/3,2/3,1/3), e₂(1/3,-2/3,2/3), e₃(-2/3,1/3,2/3).