Изоморфизм линейных пространств

Два линейных пространства и называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение : ® такое, что для и

;

Отображение называется изоморфизмом линейных пространств и .

Напомним, что отображение является взаимно однозначным, если

а) разные элементы из имеют в разные образы;

б) каждый элемент из является образом некоторого элемента из .

Теорема 13.8 Два линейных конечномерных пространства и изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

Доказательство.

Пусть . Принимая правило отображения, при котором каждому элементу ставится в соответствие элемент из , имеющий те же самые координаты, а также используя правила действий с элементами в координатном представлении, приходим к изоморфизму и .

Допустим, что , где и изоморфны. Тогда некоторый набор n линейно независимых элементов из отображается в n элементов в , которые обязаны быть линейно зависимыми. Поскольку при изоморфизме нулевой элемент переходит в нулевой элемент, то мы приходим к противоречию с предположением о линейной независимости выбранных n элементов из .

В случае аналогичные рассуждения также приводят к противоречию, и, следовательно, .

Теорема доказана.