Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Подмножества линейного пространстваПодпространство Определение. Непустое множество , образованное из элементов линейного пространства R, называется подпространством этого линейного пространства, если для любых и любого числа :
(1) , (2) .
Замечание. Из этого определения следует, что множество само является линейным пространством, поскольку для него, очевидно, выполняются все аксиомы операций в линейном пространстве.
Примеры. 1. Множество радиусов-векторов всех точек, лежащих на некоторой плоскости, проходящей через начало координат, является подпространством во множестве радиусов-векторов всех точек трехмерного геометрического пространства.
2. В пространстве n -мерных столбцов совокупность решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными и с основной матрицей ранга r образует подпространство размерности .
3. Подпространством любого линейного пространства будет: а) само линейное пространство; б) множество, состоящее из одного нулевого элемента.
Определение. Пусть даны два подпространства и линейного пространства R. Тогда
1. Объединением подпространств и называется множество элементов , таких, что либо . Объединение подпространств и обозначается . 2°. Пересечением подпространств и называется множество элементов , принадлежащих и одновременно. Пересечение подпространств и обозначается . 3°. Суммой подпространств и называется совокупность всех элементов при условии, что и . Сумма подпространств и обозначается . 4°. Прямой суммой подпространств и называется совокупность всех элементов при условии, что и и . Прямая сумма обозначается .
Сумма и пересечение подпространств и в R также являются подпространствами в R.
Теорема 13.5 Размерность суммы подпространств и равна
Следствие. В случае прямой суммы подпространств
и каждый элемент представим в виде так, что и , единственным образом.
Линейная оболочка системы элементов Определение. Совокупность всевозможных линейных комбинаций некоторого множества элементов линейного пространства называется линейной оболочкой этого множества и обозначается .
Пусть задан набор элементов , порождающих линейную оболочку , тогда любой элемент этой линейной оболочки имеет вид и справедлива теорема:
Теорема 13.6 Множество всех элементов, принадлежащих линейной оболочке , является в R подпространством размерности m, где m – максимальное число линейно независимых элементов в множестве .
Гиперплоскость Определение. Множество , образованное из элементов вида , где есть произвольный фиксированный элемент линейного пространства R, а x – любой элемент некоторого подпространства , называется гиперплоскостью (или линейным многообразием) в линейном пространстве R. Замечание. В общем случае гиперплоскость не является подпространством. Замечание. Если , то говорят о k -мерной гиперплоскости.
|