Теорема (о каноническом виде матрицы)

1)Конечным числом элементарных преобразований любую матрицу можно привести к одному из следующих видов

Под главной диагональю все элементы равны нулю, а на главной диагонали все элементы ненулевые. Остальные элементы – произвольные.

2) Ранг матрицы канонического вида равен числу ее строк.

2.4. Собственные векторы

Определение 6. Пусть А – некоторая квадратная матрица порядка n. Ненулевой вектор

x =

называется собственным вектором матрицы А, если существует такое число l, что A x = l x.

Отметим, что собственный вектор, соответствующий некоторому l, определяется с точностью до ненулевого множителя.

Замечание. Не все компоненты вектора x, в общем случае, являются действительными.

Определение 7. Характеристическим многочленом квадратной матрицы А называется определитель

f _A(l) = |A –lE| =

Определение 8. Корни характеристического многочлена f _A(l) матрицы А, т.е. решения уравнения f _A(l) = 0, называются характеристическими числами или собственными значениями матрицы А.

Алгоритм нахождения собственных векторов квадратной матрицы

1. Составить характеристический многочлен f _A(l).

2. Найти корни f _A(l).

3. Для каждого корня l найти некоторое ненулевое решение однородной системы линейных уравнений A x = l x или (A – lЕ) x= 0.

Замечание. Если все корни характеристического многочлена f _A(l) действительные и различные, то мы получаем систему, состоящую из n линейно независимых собственных векторов матрицы А. Эта система является базисом R ⁿ.

Если все корни характеристического многочлена действительные, но среди них имеются кратные, то с помощью специальных конструкций можно дополнить систему линейно независимых собственных векторов до базиса пространства Rⁿ.

Если некоторый корень характеристического многочлена не является действительным, то не все компоненты соответствующего ему собственного вектора являются действительными.