Системы линейных алгебраических уравнений

Систему вида:

принято называть системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными. При этом произвольные числа a_ij (i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,…, n) называются коэффициентами системы (коэффициентами при неизвестных), а числа b_i (i = 1, 2,…, n) – свободными членами. Такая форма записи алгебраической линейной системы называется нормальной. Решением СЛАУ называется совокупность чисел x_i (i = 1, 2,…, n), при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество.

Систему можно записать в матричной форме

A ´ X = B,

где A – матрица коэффициентов при неизвестных (матрица системы):

X – вектор-столбец неизвестных X = (x₁, x₂, …, x_n)^T:

B – вектор-столбец свободных членов:

или B = (b₁, b₂,…, b_n)^T. Целое число n называется размерностью системы.

Система может быть записана в развернутом виде

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной – в противном случае.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Задачу решения СЛАУ можно свести к оптимизационной задаче. Для чего одно из уравнений (например, первое) взять в качестве целевой функции, а оставшиеся n -1 рассматривать в качестве ограничений. Запишем систему в виде

Тогда задача оптимизации для Поиска решения может звучать следующим образом. Найти значения X = (x₁, x₂, …, x_n)^T, доставляющие ноль функции, стоящей слева в первом уравнении системы при n -1 ограничениях, представленных оставшимися уравнениями.

Для решения этой задачи необходимо записать выражения (формулы) для вычисления значений функций, стоящих слева в уравнениях системы. Отведем под эти формулы интервал E18:E21 текущего рабочего листа (Лист3). В ячейку E18 введем формулу

=C3*$D$18+D3*$D$19+E3*$D$20+F3*$D$21-G3

и скопируем ее в E19, E20 и E21. В них появятся

=C4*$D$18+D4*$D$19+E4*$D$20+F4*$D$21-G4,

=C5*$D$18+D5*$D$19+E5*$D$20+F5*$D$21-G5,

=C6*$D$18+D6*$D$19+E6*$D$20+F6*$D$21-G6

соответственно.

Открыть диалоговое окно Поиск решения. В окне диалога задать параметры поиска (установить целевую ячейку $E$18 равной значению 0, в окне изменяя ячейки установить путем выделения интервала $D$18:$D$21, в окне ограничения добавить ограничения для ячеек: $E$19=0, $E$20=0 и $E$21=0). После щелчка по кнопке Выполнить в интервале D18:D21 получим результат.

Варианты систем линейных алгебраических уравнений