Обратная матрица. Определение:Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если

.

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю. Такая матрица называется невырожденной.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Рассмотрим на примере, как найти обратную матрицу .

Пусть

1)Найти определитель матрицы

.

Так как , то обратная матрица существует.

2) Сформировать матрицу из алгебраических дополнений каждого элемента матрицы.

если - четное число,   если - нечетное число.

3) Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений.

.

4) Обратная матрица определяется формулой

,

.

Укажем следующие свойства обратных матриц:

1. (A^-1)^-1 = A;

2. (AB)^-1 = B^-1A^-1

3. (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Применение матриц к решению линейных уравнений.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальныхуравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.