Алгебраические критерии устойчивости

Необходимое условие устойчивости:

Необходимым (но недостаточным для систем выше второго порядка) условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

Критерий Гурвица. Из коэффициентов характеристического уравнения составляется квадратная матрица, состоящего из n столбцов и n строк.

(1.2)

Далее составляются главные диагональные миноры, называемые определителями Гурвица.

D ₁ = а ₁

(1.3)

и т. д. до D_n включительно.

Критерий устойчивости Гурвица определяет систему устойчивой в том и только в том случае, когда все n определителей Гурвица будут положительными.

Обычно, применяя критерий Гурвица, используют его модификацию (критерий Льенара—Шипара), из которой следует, что положительность нечётных определителей Гурвица означает положительность его чётных определителей, и, наоборот, положительность чётных определителей Гурвица означает положительность его нечётных определителей.

Критерий Рауса. Составляется таблица по следующему правилу:

, (1.4)

где i – номер строки, j – номер столбца. Количество строк в таблице Рауса равно , где - порядок системы.

Формулировка критерия Рауса: САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца таблицы Рауса (включая а₀ и а₁).

Таблица Рауса: