Угол между касательной и хордой

Рассмотрим окружность с центром O и прямую CC ₁, касающуюся окружности в точке A (рис. 144). Проведем хорду AB. Каждый из углов BAC и BAC ₁ будем называть углом между касательной и хордой.

Докажем теорему об угле между касательной и хордой.

Теорема. Угол между касательной и хордой измеряется половиной заключенной внутри этого угла дуги.

Доказательство. Если хорда AB – диаметр (рис. 145, а), то дуги, заключенные внутри углов BAC и BAC ₁, являются полуокружностями и, следовательно, равны 180°. Поскольку ∠ BAC = ∠ BAC ₁ = 90°, то утверждение теоремы справедливо.

Если же хорда AB не является диаметром (рис. 145, б), то острый угол CAB между касательной CC ₁ и хордой AB равен 90° – ∠ OAB, а тупой угол C₁AB равен 90° + ∠ OAB.

Обозначим буквой α величину центрального угла AOB (рис. 145, в). Тогда ◡ AB = α и ◡ ADB = 360° – α. В равнобедренном треугольнике AOB угол OAB равен

Таким образом, каждый из углов между касательной CC ₁ и хордой AB измеряется половиной заключенной внутри него дуги. Теорема доказана.