Теория хаоса

О тягость легкости, смысл пустоты! Бесформенный хаос прекрасных форм!

У. Шекспир. Ромео и Джульетта

Как уже говорилось в гл. 5, хаос не следует путать с произволом. Хаос означает скорее чрезвычайную восприимчивость конечного результата к малым изменениям в начальных условиях. Как поется в старой колыбельной:

Не было гвоздя —

Подкова пропала.

Не было подковы —

Лошадь захромала.

Лошадь захромала —

Командир убит.

Конница разбита,

Армия бежит.

Враг вступает

В город,

Пленных не щадя,

Оттого что в кузнице

Не было гвоздя!

[Гвоздь и подкова.

Пер. с англ. С. Маршака]

До 1960-х годов существовал некий сугубо математический метод, как оказалось, связанный с теорией хаоса. Гастон Морис Жулиа, математик из Алжира, после ранения в сражениях Первой мировой войны вынужден был носить на лице кожаную повязку, защищавшую сильно искалеченный нос. Из-за многочисленных операций ему приходилось долго скитаться по госпиталям, где, чтобы как-то скоротать время, он занимался математическими выкладками. В 25 лет он пишет «Записку о приближении рациональных функций». Работу он делал в связи с темой, объявленной в 1915 году Французской академией наук на соискание главной премии 1918 года, которой и удостоился; хотя французский математик и астроном Пьер Жозеф Луи Фату (1878-1929) опубликовал в декабре 1917 года работу на ту же тему, однако Жулиа отослал свою статью в Академию наук раньше. Функция представляет собой математическое правило вычисления наподобие следующего: f(x) = х² + const. Если х = 2, а const = 3, то значение функции составит 7. Приближение (итерация) осуществляется использованием вычисленного для /значения в качестве следующего значения для х. Итак, если х = 7, то f (х) = 52, и т. д. Жулиа исследовал более сложные выражения. Особо его занимали функции и значения, при которых возможно многократное приближение без бесконечного роста итоговой величины [самой функции]. Значения х, для которых повторяющиеся итерации давали конечный результат, стали именоваться пленниками [обычно говорят о множестве точек притяжения, или аттракторах]. При стремлении к бесконечности итоговых величин их называют «беглецами» [обычно говорят о множестве точек отталкивания, или репеллерах]. Вычисления велись вручную и были крайне трудоемкими даже для простых функций. Хотя Жулиа и обрел некую славу в математических кругах, его труд был основательно забыт, и вспомнили о нем уже в 1970-е годы.

Бенуа Маидельброта, родившегося в Польше в 1924 году, со статьей Жулиа познакомил в 1945 году родной дядя, профессор математики. В то время идеи Жулиа его не заинтересовали. Но спустя 30 лет после головокружительной научной карьеры Мандельброт очутился в компании IBM и обратил мощь ЭВМ на итеративные вычисления Жулиа. Мандельброт первым разработал метод графического построения, когда ЭВМ выводит на экран образ схождения и расхождения приближаемой функции.

Рис. 1.9. Множество Мандельброта

Прекрасные образы, порождаемые методами итерации Мандельброта и Жулиа, способствовали одно время появлению бесчисленных книг и узлов Всемирной Паутины. Вот некоторые из них:

Gleick J. Making a New Science. N.Y.: Viking Penguin, 1987.

Exploring Chaos — A Guide to the New Science of Disorder / Nina Hall (Ed.). N.Y.: W. W. Norton & Company, 1991.

http://hypertextbook.com/chaos

www.wfu.edu/~petrejh4/chaosind.htm

В 2002 году Стивен Вулфрем издал книгу по смежной тематике A New Kind of Science (см. www.Wolfram.com). Его труд основан на собственных исследованиях в области клеточных автоматов, представляющих собой ряд одинаково запрограммированных автоматов, иначе «клеток», взаимодействующих друг с другом по определенным правилам. С помощью очень простых правил можно создать очень сложные образы. Некоторые из этих образов очень похожи на природные объекты, однако установление связи между математикой хаоса и пригодным описанием реального мира все еще ждет своего часа.