Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Лекция 10: Частотные методы определения устойчивости
К частотным критериях относятся два критерия: 1) критерий Михайлова (сформулирован в 1936 г.) 2) критерий Найквиста (в 1932 г.) Частотные критерии связаны с построением годографа на комплексной плоскости в функции частоты, т.е. это графоаналитические методы.
Критерий устойчивости Михайлова В основе лежит построение годографа характеристического полинома - полином Гурвица. При , получим где X(ω) – содержит четные степени ω; Y(ω) – содержит нечетные степени ω. Правило: Система устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ годограф D(jω) огибает начало координат против часовой стрелки, проходя последовательно n четвертей (квадрантов), где n – порядок D(jω).
Достоинство: в отличие от критерия Гурвица малокритичен к порядку характерного полинома. Недостаток: Трудно оценить запас устойчивости. От этого недостатка свободен критерий Найквиста.
Критерий устойчивости Найквиста В основе критерия лежит построение годографа частотной ПФ разомкнутой системы: при изменении частоты ω от 0 до +∞. То есть это также графоаналитический метод. Правило 1: Если разомкнутая система устойчива и годограф ПФ разомкнут, система (при изменении ω от 0 до ∞) не охватывает точку с координатами Примеры:
Правило 2: Если разомкнутая САУ неустойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФХ разомкнутой системы должны охватывать точку (-1; j0) раз, где k - число правых полюсов ПФ W(s), т.е. число полюсов с αi>0 (положительной действительной частью). Достоинства: 1) частотные характеристики можно снять экспериментально; 2) можно дать оценку запаса усталости а) γ – запас по фазе; б) - запас по модулю (амплитуде).
Физическая сущность усталости, исходя из критерия Найквиста, интерпретируется следующим образом:
1. Фаза e(t) отличается от фазы y(t) на -180º, т.к. y(t) после элемента сравнения за счет операции вычитания изменяет фазу на противоположную. 2. Если коэффициент передачи на частоте колебаний равен 1, то получаем затухающие колебания, т.е. φ = -180º, |W(jω)|=1. 3. Если при φ = -180º |W(jω)|>1, то ошибка будет увеличиваться все больше и больше – т.е. неустойчивый процесс. 4. При φ = -180º |W(jω)|<1, то процесс колебаний затухает до нуля – система устойчива. Вывод: Поэтому точка (-1, j0) – является особой точкой в критерии Найквиста и фаза -180º, и модуль А=1.
Устойчивость систем управления с запаздыванием
Таким образом, запаздывание увеличивается на ωτ, т.е. устойчивость ухудшается. Годограф из-за составляющей ωτ закручивается вокруг начала координат по спирали, т.е. исходный годограф W (jω) поворачивается на угол θ=ωτ. Критерий Найквиста для САУ с запаздыванием не изменяется: годограф Wτ(jω) не должен охватывать точку (-1;j0). Если имеется исходная W (jω), то по годографу можно определить допустимое запаздывание, которое выводит систему на границу устойчивости: - графическим методом или аналитически из условия –φ(ω0) – τω0 = -π . Вывод: Для систем с запаздыванием критерий Найквиста – единственный, практически применяемый критерий устойчивости. (кроме дискретных систем, где запаздывание учитывается аналитически наиболее просто)
Определение устойчивости по ЛЧХ
Критерий Найквиста может быть интерпретирован в логарифмической форме (виде). Так например, точке пересечения W (jω) с осью -1 ÷ -∞ будет соответствовать сдвиг фазы на –π, -3π, -5π и т.д., а А(ω) = 1, т.к. L = 20lg1 = 0. Т.е. точка ωср аналог точки (-1;j0). Поясним критерий Найквиста на примере:
Т1>T2>T3
La = 20 lg(1-h), где 1-h = a – запас по модулю (см. обычный критерий Найквиста)
ωср – частота среза, где L(ωср) = 0. γ – запас устойчивости по фазе. в абсолютных единицах.
Правило: Если на частоте среза ωср фаза φ(ωср) меньше по модулю 180º, то САУ устойчива.
Второй вариант: В устойчивой САУ φ(ω) должная пересекать ось - 180º правее точки ωср.
Построение областей устойчивости
Часто ставится задача не только определить устойчивость, но и выбрать область параметров, в которой система будет заведомо устойчива. Такая задача решается построением областей устойчивости. Обычно рассматривают плоскость одного, двух и иногда трех параметров:
Правило штриховки: штриховка направлена в область устойчивости.
Примечание: Если система во всей области параметров неустойчива, то она называется структурно неустойчивой → обычно не выполняются необходимые условия устойчивости.
Таким образом для определения области устойчивости и соответственно неустойчивости необходимо построить границу устойчивости. Это можно сделать с помощью критериев устойчивости: 1. Условие Гурвица: Δ (А, В) = 0 и его миноры 2. Критерий Михайлова (D-разбиение) D(jω, A, B) = 0, или X(ω, A, B) = 0, Y(ω, A, B) = 0 3. Критерий Найквиста: или , ω изменяется от 0 до ∞.
Полученные области проверяются на устойчивость по первой тоже с использованием любого критерия. Иногда можно определить область устойчивости по физическому смыслу параметров.
Пример:
1. Критерий Гурвица: а3(а1а2 – а0а3) = 0 – уже было ранее. или .
2. Критерий Михайлова:
,
примечание: Если заменить , то будет как в Гурвице.
Вывод: Результат тот же. Но есть в этом примере недостаток – требуется преобразование в формуле Ку при ω = 0. Если этого не сделать, то будет несколько иной результат. То есть требуется подставить Т4 при ω = 0. Для других частот – все нормально.
3. Критерий Найквиста: , отсюда или
Если далее строить годограф задавая ω в диапазоне 0÷∞, то получим тот же результат.
Вывод: Для построения областей устойчивости критерия Михайлова удобнее, т.к. проще соотношения.
Дополнение: Все соотношения эквивалентны. Например, от результатов, получаемых по Найквисту можно перейти к соотношению для критерия Михайлова. Имеется известная формула из тригонометрии: Отсюда , где при TyTмω2 = 1.
Поэтому – см. условие Михайлова. Теперь если подставим это соотношение для в А(ω), то получим , т.е. как по Михайлову.
|