Выявление основной тенденции развития явления в динамических рядах

Основная тенденция развития называется трендом. Для выявления тренда производят выравнивание временного ряда, при этом используются различные методы.

Методы механического сглаживания

1) Укрупнение интервала динамического ряда. Данный метод заключается в том, что первичный ряд преобразуется и заменяется другим, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Новые уровни ряда получают либо путем суммирования уровней ряда, либо вычислением средних уровней за укрупненный временной интервал. При этом отклонения в уровнях ряда, вызванные случайными причинами взаимно погашаются, сглаживаются и более ясно обнаруживается общая тенденция развития явления.

Рассмотрим нахождение переменной средней по укрупненным интервалам.

Пример 5. Имеются данные о стоимости продукции предприятия за 12 месяцев.

Месяц	Выпуск продукции, тыс. руб.	Суммы за квартал	Средняя квартальная
Январь	336
Февраль		1005,0	335,0
Март	349
Апрель	330
Май	358	1041,0	347,0
Июнь	353
Июль
Август	371	1079,0	≈360
Сентябрь	357
Октябрь	356
Ноябрь	359		≈359
Декабрь

Нахождение переменной средней по укрупненным интервалам:

= и т.д.

При использование этого метода теряется значительное число данных, поэтому его можно применять для анализа временных рядов с большим числом уровней ряда.

2) Скользящая средняя. При использование этого метода рассчитанные средние относятся к середине интервала.

(февраль); (март); (апрель)

может быть трехчленная, четырехчленная и пятичленная.

выполняют центрирование данных, т.е. осуществляется определение средней из найденных средних. Например, если исчисляется скользящая средняя с продолжительностью периода равного 2-м, то расчет производится следующим образом: ; и т.д. Тогда центрированные средние, рассчитываются следующим образом:

; = ; и т.д. Первая центрированная средняя будет отнесена ко второму периоду, вторая к третьему и т.д.

, заключающийся в том, что сглаженный ряд сокращается с обоих концов на число уровней (К-1), где К –число уровней, включенных в период сглаживания.

рассматривать как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других методов, позволяющих более точно выявить тенденцию развития ряда. Для того, чтобы дать количественную модель, выражающую общую тенденцию изменения уровней ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Аналитическое выравнивание ряда динамики

При аналитическом выравнивании ряда динамики фактические уровни ряда заменяются теоретическими уровнями, вычисленными на основе определенной кривой, выбранной в предположении, что она наилучшим образом отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого явления. При этом уровень изучаемого явления рассчитывается как функция времени ,

где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

При аналитическом выравнивании может быть использовано:

1) Уравнение прямой, если рост уровней происходит в арифметической прогрессии

2) Уравнение показательной кривой, если развитие идет в геометрической прогрессии

3) Уравнение параболы второго порядка +

4) Уравнение параболы третьего порядка +

Выравнивание по прямой дает эффект в тех случаях, когда абсолютные приросты в среднем, более или менее постоянны, т.е. когда уровни ряда изменяются приблизительно в арифметической прогрессии. Это происходит тогда, когда первые разности приблизительно равны между собой. Первые разности- это абсолютные приросты уровней ряда, рассчитанные с переменной базой, т.е.

; = и т.д., то есть когда ≈

Если приблизительно равны вторые разности, т.е. разности из первых разностей: ; , т.е. , то используют параболу второго порядка.

При приблизительном равенстве третьих разностей, т.е. разностей из вторых разностей,используется парабола третьего порядка.

При приблизительном равенстве темпов прироста, используется уравнение показательной кривой.

Для определения параметров выбранного уравнения используется метод наименьших квадратов, т.е линия выбранного уравнения проводится так, чтобы она была возможно ближе расположена к фактическим уровням динамического ряда, т.е. должна быть средней арифметической. Поэтому, должно выполняться равенство

, n- число фактических уровней динамического ряда;

-фактические уровни динамического ряда;

- уровни, рассчитанные по аналитическому уравнению.

При выравнивании по уравнению прямой: = + , где t- порядковый номер периода; и -параметры уравнения.

Для нахождения параметров и используют систему нормальных уравнений:

Для упрощения вычислений временные периоды нумеруются таким образом, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. . Для этого при нечетном числе уровней ряда, уровень стоящий в середине ряда принимается за условное начало отсчета, т.е. 0. Даты, стоящие выше этого уровня обозначаются рядом чисел со знаком (-), а стоящие ниже ноля со знаком (+). Таким образом, даты будут обозначены следующим образом: -3;-2;-1;0; 1;2;3 и т.д.

При четном числе уровней ряда, временные периоды нумеруются от середины ряда, следующим образом: -5;-3;-1; 1; 3; 5 и т.д. В обоих случаях .

При этих условиях можно преобразовать систему уравнений. Она примет вид:

Пример 6. Имеются данные о выпуске продукции за 9-ть месяцев текущего года:

	Объем продукции, тыс. руб.-
Январь		-	-4	-428		106.3	0,7	0,49
Февраль			-3	-330		111,2	-1,2	1,44
Март			-2	-232		116,1	-0,1	0,01
Апрель			-1	-121		121,0	0,0	0,0
Май						125,9	0,1	0,01
Июнь						130,8	0,2	0,04
Июль						135,7	0,3	0,09
Август						140,6	0,4	0,16
Сентябрь						145,6	-0,6	0,36
					=60	=1133,2		=2,6

Определяем параметры уравнения:

; ;

Параметры и имеют экономический смысл. Так, является средним уровнем ряда, а - средним абсолютным приростом. По рассчитанному уравнению вычислим теоретические уровни ряда:

январь (t= -4)

февраль (t= -3)

Данное уравнение можно использовать для прогнозирования уровней ряда. Например, уровень ряда на октябрь (t=5)

Правильность расчета проверяем сравнением сумм эмпирических и теоретических уровней ряда .

Для оценки качества полученного уравнения определим коэффициент вариации. Если коэффициент вариации (V) не превышает 5%, то уравнение выбрано правильно. Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

; ;

Полученную модель аналитически выровненного ряда можно использовать для интерполяции и экстраполяции.

Интерполяция это нахождение неизвестных данных в пределах имеющегося ряда. Используется редко.

Экстраполяция –это продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, т.е. нахождение уровней ряда на будущие периоды- прогнозирование ряда.

Экстраполировать возможно при условии:

1) Общие условия, характеризующие тенденцию развития в прошлом, не претерпевают существенных изменений и в будущем.

2) Тенденция развития (тренд) можно охарактеризовать тем или иным уравнением.

Ответ на первый вопрос может дать экономический анализ рассматриваемого явления, а также анализ таких показателей, как скорость роста, темпы роста, пункты роста.

Если условия формирования уровней ряда меняются, то расчет параметров уравнения следует вести не по сему ряду, а по его частям, т.е. разбить ряд на более мелкие периоды времени, ориентируясь при этом на устойчивость абсолютных приростов или пунктов роста. Это называется построение ряда при разорванном тренде.

Например, имелись данные за период 1995-2000г. Необходимо было дать прогноз на 2001-2007г. Экономические условия резко изменились в 1998г., следовательно, необходимо было рассчитать два уравнения: а) 1995-1998г.;б) 1999- 2007г. Прогноз на 2007г. Производится по одному из уравнений.

При прогнозировании можно получить точечный и интервальный прогноз. Например, на октябрь месяц(см. пример 6) объем выпущенной продукции составит:

(точечный прогноз).

При интервальном прогнозировании величина доверительного интервала определяется в общем виде так: , где - среднеквадратическое отклонение от тренда;

m-количество параметров уравнения тренда (для прямой m=2); -критерий Стьюдента, определяемый по таблице (приложение 6) при числе степеней свободы- К=n-1 и уровнем значимости .

Интервальное прогнозное значение определяется по формуле:

По данным нашего примера 6 для октября месяца: число степеней свободы К=9-1=8 и уровень значимости ;

Величина интервального прогнозируемого показателя будет равна:

150,4 – 2,3*0,609 т.е. 149,99