Работа 9. Скорость звука

Задание 1: определить скорость звука в воздухе с предельной относительной погрешностью e, не превышающей 5 %.

Задание 2: определить скорость звука в стали с предельной относительной погрешностью e, не превышающей 5 %.

Оборудование и принадлежности: установка для определения скорости звука в воздухе и в стальной пластинке, микрометр.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Рис. 1

Установка состоит из звукового генератора ГЗ-18 и панели, на которой расположены трубка Тр с закрепленными на концах телефоном Т₁ и микрофоном М (рис. 1), микроамперметр µA а также установлены устройства для закрепления стальной пластинки Пл и телефона Т₂ (без мембраны). Винты В ₁ и В ₂ позволяют плавно изменять длину пластинки и расстояние телефона от пластинки. Переключатель П позволяет поочередно подключать к звуковому генератору ГЗ -18 телефоны Т ₁ и Т ₂. При подаче на электромагнит телефона Т ₂ переменного электрического напряжения стальная пластинка совершает вынужденные колебания. Подбором частоты напряжения можно достичь резонанса. Выпрямленное и стабилизированное напряжение, подаваемое на микрофон, может регулироваться с помощью потенциометра R (рис. 2). Микроамперметр µA позволяет регистрировать силу тока, проходящего через микрофон, и судить о давлении, оказываемом воздушным столбом на его мембрану.

Рис. 2

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Общие сведения. Колебания, возникшие в некоторой точке упругой среды (или электромагнитного поля), передаются соседним точкам. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки, происходящих вдоль оси х, имеет вид:

, (1)

где w – круговая, или циклическая частота колебаний.

Волной называются распространяющиеся в пространстве возмущения состояния вещества или поля.

Волны в веществе называются упругими волнами. Упругие волны в жидкостях и газах являются продольными. В них колебания частиц вещества происходят вдоль направления распространения волны. (Волны на поверхности жидкости не являются упругими. Они вызваны либо силами поверхностного натяжения, либо силами тяжести.) В твёрдых телах могут распространяться как продольные, так и поперечные волны. В поперечной волне колебания частиц происходят перпендикулярно направлению распространения волны.

Волновой поверхностью называется множество точек, в которых фазы колебаний одинаковы. В зависимости от формы волновой поверхности различают плоские, сферические, цилиндрические и т.д. волны. Уравнение монохроматической плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, имеет вид:

(2)

где x – смещение частицы среды из положения равновесия; a – амплитуда волны, т.е. максимальное смещение частицы из положения равновесия; c – скорость волны; w(t - x/c) – фаза волны. Циклическая частота w связана с частотой n, периодом T, и длиной волны l:

(3)

Упругие волны с большой амплитудой называются ударными волнами. Упругие волны с малой амплитудой, которые воспринимаются человеческим ухом, называются звуком. Частота звука лежит в интервале приблизительно от 16 Гц до 20000 Гц.

Скорость звука зависит от свойств вещества. Скорость звука в газах является функцией абсолютной температуры Т:

(4)

где g – показатель адиабаты (для воздуха g = 1,4); R – универсальная газовая постоянная, M – молярная масса газа. Для воздуха при Т = 293 К получим с = 343 м/с.

Скорость продольных звуковых волн в твёрдых телах определяется соотношением:

(5)

где E – модуль Юнга, r – плотность тела.

При наложении двух волн (бегущих волн) одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях, образуется стоячая волна. В стоячей волне не происходит результирующего переноса энергии, так как бегущие волны несут одинаковые количества энергии в противоположных направлениях.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ

МЕТОДОМ СТОЯЧИХ ВОЛН

Теория метода. Измерение скорости звука в воздухе в данной работе основано на использовании свойств стоячих волн.

Стоячие волны в объеме воздуха, заключенном в трубе Тр, можно получить, поместив в одном ее конце телефон Т, в другом микрофон М (рис. 3, а). Мембрана телефона порождает колебания воздуха, которые распространяются вдоль трубы в виде плоской волны. При отражении от микрофона возникает плоская волна противоположного направления.

Рис. 3

В зависимости от отношений плотностей граничащих сред отражение происходит по-разному. Рассмотрим отражение от менее плотной среды (в предельном случае от вакуума) на примере распространения волны в стержне. Пусть левый конец стержня связан с источником колебаний, а правый свободен. Когда деформация (например, сжатие), вызванная источником колебания, достигает свободного конца, он в результате сжатия получает ускорение вправо. Это движение не встречает со стороны вакуума сопротивления, поэтому к моменту исчезновения деформации конец стержня будет двигаться с наибольшей скоростью. В дальнейшем движение конца стержня замедляется, вызывая его растяжение. Со временем деформация растяжения передается по стержню, перемещаясь справа налево. Аналогично и деформация растяжения, отразившись от свободного конца, перемещается обратно в виде деформации сжатия. Поэтому при отражении от границы с меньшей плотностью за приходящим сжатием следует уходящее растяжение и обратно, сжатие и растяжение чередуются в том же порядке, как и в свободно распространяющейся волне. Это значит, что на свободном конце стержня волна отражается, меняя свое направление на обратное, причем изменения фазы волны на границе отражения не происходит.

Во втором случае, когда отражение происходит от более плотной среды, что в пределе соответствует жестко закрепленному концу стержня, дошедшая до него деформация не может привести этот конец стержня в движение. Возникшее здесь сжатие или растяжение отражается от закрепленного конца в виде той же деформации. Следовательно, при отражении от более плотной среды за сжатием в проходящей волне будет следовать не растяжение, а сжатие в отраженной волне, и за растяжением в проходящей волне - растяжение в отраженной. Поэтому при отражении фаза волны меняется на π.

Пусть мембрана телефона совершает гармонические колебания с амплитудой a и циклической частотой ώ. Тогда в волне, распространяющейся от телефона, смещение x₁ частиц воздуха в любом сечении столба, отстоящем от источника колебаний на расстоянии x (см. рис. 3, a), будет описываться уравнением (2). В том же сечении в отраженной волне смещение

(6)

где l – расстояние между телефоном и микрофоном, т.е. длина воздушного столба в трубе. Знак минус учитывает изменение фазы на π при отражении. При сложении этих бегущих волн образуется стоячая волна:

или

(7)

где амплитуда стоячей волны

(8)

Сечения, в которых А = 0, называются узлами смещений. Посередине между узлами амплитуда максимальна – это пучности смещений. Конец воздушного столба (x = l) является узлом. Графическое распределение (один из возможных случаев) амплитудных смещений А в стоячей волне представлено на рисунке 3, б. Полагая в (8) А = 0 и учитывая (3), найдём координаты узлов:

(9)

где n = 0, 1, 2, 3,........ – целое число.

Фазы колебаний всех частиц, расположенных между двумя соседними узлами, одинаковы, т.е. колебания таких частиц являются синфазными. При переходе через узел фазы скачком изменяется на π, т.е. частицы, расположенные по разные стороны узла, колеблются в противофазе. Со временем фазы колебаний частиц изменяются.

Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) называется длиной стоячей волны λ_с (см. рис. 3, б). Из (9) следует, что она в два раза меньше длины бегущей волны λ, т.е.

λ_c=λ/2. (10)

В узлах стоячей волны смещений скорости частиц среды равны нулю, а в ее пучностях отсутствуют деформации (стоячая волна деформаций ξ (рис. 3, в) по отношению к стоячей волне скоростей сдвинута по фазе на λ 2) (см. рис. 3, б). Поэтому энергия стоячей волны, заключенная между узлом и соседней пучностью, локализована в этом участке среды и не переносится волной. Она только переходит из кинетической в потенциальную и обратно (дважды за один период).

Как показывают расчеты и опыт, амплитуда стоячей волны в ее пучности максимальна (такие колебания называются собственными), если в месте расположения источника (телефона) бегущей волны образуется узел стоячей волны смещения. В конце закрытого воздушного столба (у микрофона), как уже отмечалось, всегда образуется узел смещения (что соответствует n = 0 в (9)). Полагая в (9) х = 0, получим, что стоячая волна с максимальной амплитудой в пучности установится в том случае, если на длине l воздушного столба укладывается целое число стоячих волн или в соответствии с (10) целое число бегущих полуволн:

(11)

Частоту собственных колебаний воздушного столба в трубе с учетом (11) можно представить в виде

(12)

При n = 1 частота соответствующего собственного колебания называется основной, все остальные собственные частоты называются обертонами.

Из соотношения (12) следует, что получить собственные колебания воздуха в трубе можно двумя способами: подбирая или длину столба или частоту колебаний мембраны телефона. Если при фиксированном значении l на телефон подавать электрическое напряжение от звукового генератора и плавно изменять его частоту, то с помощью микрофона можно установить ряд последовательных частот ν_n (обертонов).

Если построить график n_n = f(n), откладывая по оси абсцисс номера n обертонов, а по оси ординат - соответствующие значения частот ν_n, то в соответствии с формулой (12) должна получиться прямая линия. Тангенс угла j наклона этой прямой к оси абсцисс определим по графику tgj = (n_k - n_p)/(k - p), где k и p - номера соответствующих обертонов. Тогда из (12) скорость звука с в воздухе выразиться через две экспериментально определяемые величины:

(13)

По отклонениям экспериментальных точек от прямой судят о величине случайных ошибок.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ТВЕРДЫХ СРЕДАХ

МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА

Теория метода. Скорость распространения продольных волн определяется упругими свойствами и плотностью среды и находится по формуле (5).

Аналогичная зависимость наблюдается и для частоты ν собственных колебаний пластинки, изготовленной из того же вещества. Так, частота собственных колебаний тонкой пластинки с жестко закрепленным одним концом

(14)

где d – толщина пластинки; L – ее длина.

Из (5) и (14) получаем

(15)

При экспериментальном определении скорости звука частоту ν собственных колебаний пластинки можно находить с помощью резонансного метода, а длину пластинки L и ее толщину d измерять непосредственно.

Рис. 4

Получить формулу (15) можно, рассмотрев уравнение моментов относительно оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 4) и проходящей через точку закрепления пластинки. Это уравнение имеет вид

(16)

где J – момент инерции пластинки; – угловое ускорение; M – момент упругих сил, возвращающих пластинку в положение равновесия (силами сопротивления воздуха пренебрегают). Момент инерции J = mL ²/3, где m = ρLbd – масса пластинки; b – ее ширина.

Для определения момента М рассмотрим деформацию пластинки под действием приложенной к ее свободному концу внешней силы (см. рис. 4). При равновесии момент упругих сил направлен противоположно моменту внешней силы и равен ему по модулю, т.е.

M = - FL. (17)

Силу F можно выразить через стрелу прогиба h. При малых деформациях, когда справедлив закон Гука, сила, как показывают расчеты (см [5]) прямо пропорциональна стреле прогиба:

(18)

Угловое смещение

φ= h/L. (19)

Тогда, преобразовав уравнение (16), получим

(20)

Уравнение (20) является уравнением гармонических колебаний j, углового смещения пластинки. Сопоставляя (20 и (1), найдем циклическую частоту собственных колебаний пластинки

(21)

и придем к соотношению (14).

ПОДГОТОВКА АППАРАТУРЫ

1. Перед включением на панели звукового генератора ГЗ-18 установить:

– регулятор плавной регулировки питания в положение минимума (крайнее левое положение;

– регулятор ступенчатой регулировки на 30 В;

– переключатель шкалы вольтметра на 10 В;

–регуляторы нуля, частоты выходного сигнала и расстройки в положения, при которых на соответствующих им шкалах будут нулевые значения.

2. Включить звуковой генератор ГЗ-18.

3. Плавно поворачивая регулятор плавной регулировки питания генератора ГЗ-18 и следя за показаниями вольтметра на его панели, установить выходное напряжение U_вых £ 10 В (рекомендуется 6 В). При заданном положении переключателя шкалы вольтметра генератора полному отклонению стрелки вольтметра соответствует напряжение 10 В.

4. Установить нуль частоты звукового генератора ГЗ-18. Для этого регулятор установки нуля (частоты) плавно поворачивать с тем, чтобы стрелка вольтметра генератора прекратила колебания и установилась на нуле; при этом регуляторы частоты выходного сигнала и расстройки генератора остаются в положениях, при которых на соответствующих им шкалах установлены нулевые значения.