Функции двух независимых переменных. Область определения»

Определение 1. Если каждой паре (х,у) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин х и у из некоторой области их изменения Д, соответствует по определенному закону определенное значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области Д.

Символически функция двух независимых переменных обозначается так:

Z=f (х,у)

Геометрическое изображение функции двух независимых переменных

Каждая пара значений аргументов (х,у) геометрически определяет точку Р на плоскости xOy, а значение функции в этой точке есть аппликата z пространственной точки М(x;y;z). Геометрическое место всех точек М, координаты которых удовлетворяют уравнению Z=f (х,у), есть поверхность, взаимно однозначно проектирующаяся в область Д на плоскости xOy. Эта поверхность является геометрическим изображением функции Z=f (х,у)

Определение 2. Совокупность пар (х,у) значений независимых переменных х и у, при которых существует определенное действительно значение переменной Z=f (х,у), называется областью определения или областью существования функции.

Область определения наглядно иллюстрируется геометрически: это совокупность точек Р(х,у) на плоскости хОу (на рисунке это область Д).

Типовые задачи, рекомендуемые для решения.

1.Найти область определения функции .

Решение.

Для того, чтобы z принимала действительные значения, нужно, чтобы под конем стояло неотрицательное число (при четном ), т.е. х и у должны удовлетворять неравенству:

Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение определяет на плоскости эллипс, т.е. уравнению удовлетворяют координаты только тех точек, которые лежат на эллипсе.

Неравенству будут удовлетворять координаты тех точек, которые лежат на эллипсе или внутри него.

Итак, заштрихованная область – область определения заданной функции. Эллипс – граница области. Так как к области относятся и точки границы, то область – замкнутая.

«Частные производные функции двух независимых переменных»

Определение. Частной производной по х от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения D _х z по х к приращению D х при стремлении D х к нулю, при условии, что этот предел существует и конечен.

Определение. Частной производной по у от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения D _у z по у к приращению D у при стремлении D у к нулю, при условии, что этот предел существует и конечен.

«Вычисление частных производных»

Найти частные производные следующих функций на каждом из независимых переменных.

1.

2.

«Частные производные сложной функции».

Определение.

Частной производной по х от функции называется предел отношения частного приращения по х к приращению при стремлении к нулю, при условии, что этот предел существует и конечен.

.

Определение.

Частной производной по у от функции называется предел отношения частного приращения по у к приращению при стремлении к нулю, при условии, что этот предел существует и конечен.

.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Физический смысл частных производных.

Абсолютная величина частной производной или дает величину скорости, с которой происходит изменений функции при изменении только х или только у. Знак частной производной указывает характер этого изменения (возрастание, убывание).

Геометрический смысл частных производных.

есть угловой коэффициент относительно ОХ касательной в точке к сечению поверхности

плоскостью , т.е.

есть угловой коэффициент относительно ОУ касательной в точке к сечению поверхности плоскостью , т.е. .

Типовые задачи, рекомендуемые для решения.

Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных:

1.

2.

Date: 2015-08-07; view: 1257; Нарушение авторских прав