Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f (x, y) = 4 x 2 у + 24 хy + у 2 + 32 у – 6. Решение. Область определения D (f) – вся плоскость Оху, f (x, y) дифференцируема в каждой точке М (x; y) D (f). 1. Найдем стационарные точки: <=> => Получили три стационарные точки М 1(4; 0), М 2(–2; 0), М 3(–3; 2 ), лежащие в области D (f). 2. Исследуем все эти точки на достаточность условий экстремума. Сначала определим отдельно = 8 у, = 8 х + 24, = 2. Затем в каждой точке вычислим А, В, С, определим Δ = АС – В 2 и А: а) М 1(4; 0): А 1= = 8 ∙ 0 = 0, В 1= = 8 ∙ (–4) + 24 = –8, С 1= = 2; Δ1 = А 1 С 1 – В 12 = –64 => точка М 1(4; 0) не является точкой экстремума; б) М 2(–2; 0): А 2 = = 8 ∙ 0 = 0, В 2 = = 8 ∙ (–2) + 24 = 8, С 2= = 2; Δ2 = А 2 С 2 – В 22 = –64 => точка М 2(–2; 0) не является точкой экстремума; в) М 3(–3; 2): А 3 = = 8 ∙ 2 = 16, В 3 = = 8 ∙ (–3) + 24 = 0, С 3 = = 2; Δ3 = А 3 С 3 – В 32 = 32 => точка М 3(–3; 2) является точкой экстремума, т.к. А 3 > 0, то это точка локального минимума функции, значение которой в этой точке f min = f (–3, 2) = –10. Пример 2. Исследовать на экстремум функцию z (x, y), заданную неявно уравнением + 2 у 2 – z 2 x + z = 0. Решение. Схема исследования обычная, но необходимо учитывать неявное задание функции. 1. Необходимые условия. Положим F (x, y, z) = + 2 у 2 – z 2 x + z <=> => . К третьей системе присоединили уравнение, определяющее нашу неявную функцию. Условия у = 0 и z = x приводят исходное уравнение к виду – х 3 + x = 0, корни которого x = 0, x = ± , . Условия у = 0 и z = – x приводят исходное уравнение к виду – х 3 – x = 0, имеющему один действительный корень x = 0. Получаем три пары (x = 0; у = 0), , . Если x = 0, у = 0, то и z = 0, а, значит, и fx ¢ = 0. Это означает, что в окрестности точки (0; 0) уравнение не определяет однозначную функцию, и эта точка не подлежит исследованию. Остаются две стационарные точки: М 1 и М 2 . 2. Найдем вторые производные по правилам дифференцирования неявных функций: = = ; = = ; = = – . С учетом того, что у = 0, z = х, zx ¢ = zy ¢ = 0, = = – , = 0, = – . 3. Проверяем точки на достаточность условий экстремума. а) М 1 : А 1= , В 1= 0, С 1= ; Δ1 = А 1 С 1 – В 12 > 0, A 1 > 0 => точка М 1 – точка минимума; б) М 2 : А 2 = – , В 2 = 0, С 2= = 2; Δ2 = А 2 С 2 – В 22 < 0, A 2 > 0 => экстремума нет. Значение экстремума z = x = = z min. Пример 3. Исследовать на экстремум функцию z= x 4 + у 4. Решение. => x = 0, y = 0 => M (0; 0) – стационарная точка. А = = 0, В = = 0, С = = 0 => Δ = АС – В 2 = 0 => достаточные условия не дают ответа о наличии или отсутствии экстремума. Поступаем так: рассматриваем ближайшую окрестность точки М. Имеем: во всех точках, отличных от M (0; 0), z (x, y) > z (0; 0). Следовательно, M (0; 0) – точка минимума. Пример 4. Исследовать на экстремум функцию z= x 4 + у 4. Решение. Эта функция в точке M (0; 0) экстремума не имеет, т.к. в любой окрестности этой точки найдутся как точки, в которых z (x, y) > z (0; 0), так и точки, в которых z (x, y) < z (0; 0) – функция растет по х и убывает по у. Это говорит о том, что M (0; 0) – точка минимакса («седловая» точка функции z). Под условным экстремумом понимается поиск экстремума некоторой функции z = f (x, y) при условии, что точки (x; y) удовлетворяют еще некоторым условиям, например, уравнению φ ( x, y ) = 0, называемом уравнением связи. 1. Если уравнение связи φ (x, y) = 0 можно разрешить относительно одной из переменных, например у: у = ψ (х), то, подставляя вместо у в функцию z = f (x, y) значение ψ (х), получим функцию одной переменной z = f (x, ψ (х)). Поскольку в нем уже учтено дополнительное условие, то задача поиска условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. 2. Однако не всегда можно разрешить уравнение связи относительно у или х. Тогда эту задачу сводят к задаче на обычный экстремум для новой функции F (x, y, λ) = f (x, y) + λ φ (x, y), которая называется функцией Лагранжа, а λ – множителем Лагранжа. Чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции z = f (x, y) при условии связи φ (x, y) = 0: 1) составляем функцию Лагранжа F (x, y, λ) = f (x, y) + λ φ (x, y), 2) приравнивая нулю производные и этой функции и присоединяя к полученным уравнениям уравнение связи, получим систему из 3-х уравнений: из которых находим значения λ и координаты х, у возможных точек экстремума. Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается 1) на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа: если в стационарной точке d 2 F > 0 (d 2 F < 0), то эта точка является точкой условного минимума (максимума). 2) на основании изучения знаков определителя D (x 0, y 0) = и производной (или ). Если D (x 0, y 0) > 0, то в точке (x 0, y 0) функция f (x, y) имеет условный минимум, если > 0 ( > 0) и условный максимум, если < 0 ( < 0). Пример 1. Найти наибольшее значения функции z = xу, если переменные х и у связаны соотношением + – 1 = 0. Решение. Строим функцию Лагранжа F (x, y, λ) = f (x, y) + λ φ (x, y) = ху + λ Находим стационарные точки этой функции Т. к. ищется наибольшее значение функции, то x > 0 и у > 0. С учетом этого решение системы имеет вид: х = 2, у = 1, λ = – 2. Т.о., имеется одна стационарная точка М (2; 1; – 2). Чтобы выяснить характер условного экстремума в этой точке. Найдем второй дифференциал функции Лагранжа при λ = – 2 (d 2 z = d (dz) = dx 2 + 2 dx dy + dy 2): d 2 F = – dx 2 + 2 dxdy – 2 dy 2. Из уравнения связи находим: dy (2; 1) = – dx. Следовательно, d 2 F (2; 1) = – dx 2 + 2 dx – 2 = – 2 dx 2 < 0, поэтому точка (2; 1) является точкой условного максимума функции z = xу. При этом z max = z (2; 1) = 2. Этот результат легко проверить, если найти обычный экстремум функции z = x : zx ¢ = + x ∙ = 0 <=> 2 – = => x 2 = 4 => x = 2 => y = 1. Т.к. zx ¢ = при переходе через точку x = 2 меняет знак с «+» на «–», то x = 2 – точка максимума и z max = z (2; 1) = 2. Пример 2. Найти экстремум функции z = x 2 + y 2 (параболоид вращения) при условии х + у = 1. Решение. (Метод Лагранжа) Функция Лагранжа в данном случае имеет вид: F (x, y;l) = x 2 + y 2 + l (х + у – 1). Для отыскания стационарных точек составляем систему: => x = y = , λ = –1 F (x, y;l) = x 2 + y 2 – х – у + 1. Для нее: = 2; = 2; = 0 => = 2 > 0. Т.о., точка (, ) является точкой условного минимума функции z = x 2 + y 2 при условии х + у = 1.
|