Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование





Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f (x, y) = 4 x 2 у + 24 хy + у 2 + 32 у – 6.

Решение. Область определения D (f) – вся плоскость Оху, f (x, y) дифференцируема в каждой точке М (x; y) D (f).

1. Найдем стационарные точки:

<=> =>

Получили три стационарные точки М 1(4; 0), М 2(–2; 0), М 3(–3; 2 ), лежащие в области D (f).

2. Исследуем все эти точки на достаточность условий экстремума. Сначала определим отдельно

= 8 у, = 8 х + 24, = 2. Затем в каждой точке вычислим А, В, С, определим Δ = АСВ 2 и А:

а) М 1(4; 0): А 1= = 8 ∙ 0 = 0, В 1= = 8 ∙ (–4) + 24 = –8, С 1= = 2;

Δ1 = А 1 С 1В 12 = –64 => точка М 1(4; 0) не является точкой экстремума;

б) М 2(–2; 0): А 2 = = 8 ∙ 0 = 0, В 2 = = 8 ∙ (–2) + 24 = 8, С 2= = 2;

Δ2 = А 2 С 2В 22 = –64 => точка М 2(–2; 0) не является точкой экстремума;

в) М 3(–3; 2): А 3 = = 8 ∙ 2 = 16, В 3 = = 8 ∙ (–3) + 24 = 0, С 3 = = 2;

Δ3 = А 3 С 3В 32 = 32 => точка М 3(–3; 2) является точкой экстремума, т.к. А 3 > 0, то это точка

локального минимума функции, значение которой в этой точке f min = f (–3, 2) = –10.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию z (x, y), заданную неявно уравнением + 2 у 2z 2 x + z = 0.

Решение. Схема исследования обычная, но необходимо учитывать неявное задание функции.

1. Необходимые условия. Положим F (x, y, z) = + 2 у 2z 2 x + z

<=> => .

К третьей системе присоединили уравнение, определяющее нашу неявную функцию.

Условия у = 0 и z = x приводят исходное уравнение к виду х 3 + x = 0, корни которого

x = 0, x = ± , .

Условия у = 0 и z =x приводят исходное уравнение к виду х 3x = 0, имеющему один действительный корень x = 0. Получаем три пары (x = 0; у = 0), , .

Если x = 0, у = 0, то и z = 0, а, значит, и fx ¢ = 0. Это означает, что в окрестности точки (0; 0) уравнение не определяет однозначную функцию, и эта точка не подлежит исследованию. Остаются две стационарные точки: М 1 и М 2 .

2. Найдем вторые производные по правилам дифференцирования неявных функций:

= = ;

= = ; = = – .

С учетом того, что у = 0, z = х, zx ¢ = zy ¢ = 0,

= = – , = 0, = – .

3. Проверяем точки на достаточность условий экстремума.

а) М 1 : А 1= , В 1= 0, С 1= ; Δ1 = А 1 С 1В 12 > 0, A 1 > 0 => точка М 1 точка минимума;

б) М 2 : А 2 = – , В 2 = 0, С 2= = 2; Δ2 = А 2 С 2В 22 < 0, A 2 > 0 => экстремума нет.

Значение экстремума z = x = = z min.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию z= x 4 + у 4.

Решение. => x = 0, y = 0 => M (0; 0) – стационарная точка.

А = = 0, В = = 0, С = = 0 => Δ = АСВ 2 = 0 => достаточные условия не дают ответа о наличии или отсутствии экстремума. Поступаем так: рассматриваем ближайшую окрестность точки М. Имеем: во всех точках, отличных от M (0; 0), z (x, y) > z (0; 0). Следовательно,

M (0; 0) – точка минимума.

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию z= x 4 + у 4.

Решение. Эта функция в точке M (0; 0) экстремума не имеет, т.к. в любой

окрестности этой точки найдутся как точки, в которых z (x, y) > z (0; 0), так и

точки, в которых z (x, y) < z (0; 0) – функция растет по х и убывает по у. Это

говорит о том, что M (0; 0) – точка минимаксаседловая» точка функции z).

Под условным экстремумом понимается поиск экстремума некоторой функции z = f (x, y) при условии, что точки (x; y) удовлетворяют еще некоторым условиям, например, уравнению φ ( x, y ) = 0, называемом уравнением связи.

1. Если уравнение связи φ (x, y) = 0 можно разрешить относительно одной из переменных, например у: у = ψ (х), то, подставляя вместо у в функцию z = f (x, y) значение ψ (х), получим функцию одной переменной z = f (x, ψ (х)). Поскольку в нем уже учтено дополнительное условие, то задача поиска условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной.

2. Однако не всегда можно разрешить уравнение связи относительно у или х. Тогда эту задачу сводят к задаче на обычный экстремум для новой функции

F (x, y, λ) = f (x, y) + λ φ (x, y),

которая называется функцией Лагранжа, а λ – множителем Лагранжа.

Чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции z = f (x, y) при условии связи φ (x, y) = 0:

1) составляем функцию Лагранжа F (x, y, λ) = f (x, y) + λ φ (x, y),

2) приравнивая нулю производные и этой функции и присоединяя к полученным уравнениям уравнение связи, получим систему из 3-х уравнений:

из которых находим значения λ и координаты х, у возможных точек экстремума.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается

1) на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа:

если в стационарной точке d 2 F > 0 (d 2 F < 0), то эта точка является точкой условного минимума (максимума).

2) на основании изучения знаков определителя D (x 0, y 0) = и производной (или ).

Если D (x 0, y 0) > 0, то в точке (x 0, y 0) функция f (x, y) имеет условный минимум, если > 0

( > 0) и условный максимум, если < 0 ( < 0).

Пример 1. Найти наибольшее значения функции z = , если переменные х и у

связаны соотношением + 1 = 0.

Решение. Строим функцию Лагранжа F (x, y, λ) = f (x, y) + λ φ (x, y) = ху + λ

Находим стационарные точки этой функции Т. к. ищется наибольшее значение функции, то x > 0 и у > 0. С учетом этого решение системы имеет вид: х = 2, у = 1, λ = 2. Т.о., имеется одна стационарная точка М (2; 1; 2). Чтобы выяснить характер условного экстремума в этой точке. Найдем второй дифференциал функции Лагранжа при λ = 2 (d 2 z = d (dz) = dx 2 + 2 dx dy + dy 2):

d 2 F = dx 2 + 2 dxdy – 2 dy 2.

Из уравнения связи находим: dy (2; 1) = dx. Следовательно,

d 2 F (2; 1) = dx 2 + 2 dx 2 = 2 dx 2 < 0,

поэтому точка (2; 1) является точкой условного максимума функции z = . При этом z max = z (2; 1) = 2.

Этот результат легко проверить, если найти обычный экстремум функции z = x :

zx ¢ = + x = 0 <=> 2 – = => x 2 = 4 => x = 2 => y = 1.

Т.к. zx ¢ = при переходе через точку x = 2 меняет знак с «+» на «–»,

то x = 2 – точка максимума и z max = z (2; 1) = 2.

Пример 2. Найти экстремум функции z = x 2 + y 2 (параболоид вращения) при условии х + у = 1.

Решение. (Метод Лагранжа) Функция Лагранжа в данном случае имеет вид:

F (x, y;l) = x 2 + y 2 + l (х + у – 1).

Для отыскания стационарных точек составляем систему:

=> x = y = , λ = –1 F (x, y;l) = x 2 + y 2ху + 1.

Для нее: = 2; = 2; = 0 => = 2 > 0.

Т.о., точка (, ) является точкой условного минимума функции z = x 2 + y 2 при условии х + у = 1.

 

 

Date: 2015-08-06; view: 3397; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию