Образец выполнения контрольной

1. Производная по направлению. Градиент

Пусть z = f (x, y) – дифференцируемая в некоторой области D функция и точка М ₀(x ₀, y ₀)Î D. Пусть l – некоторое направление (вектор с началом в точке М ₀), а е = {cos a, sin a } - орт этого направления. Пусть

М (x ₀+D х, y ₀+D у) – точка в направлении l от точки М ₀.

Производная функции f (x, y) по направлению l:

= cos a + sin a.

Производная по направлению для функции 3 -х переменных u = f (x, y, z):

= cos a + cos β + cos γ,

где e = {cos a, cos β, cos γ } – орт направленияl (cos a, cos β, cos γ – направляющие косинусы направления l).

Градиентом функции z = f (x, y) (скалярного поля) называется вектор с координатами ,

определенный на плоскости Оху.

Обозначение: = .

Имеет место равенство = (grad z, e), т.е. производная по направлению l равна скалярному произведению векторов градиента и орта направления l.

Вектор grad z в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции. При этом

= = .

Скорость изменения функции f по некоторому направлению l равна проекции вектора градиента на это направление:

= pr _l = .

Градиентом функции u = f (x, y, z) называется вектор с координатами , определенный в трехмерном пространстве Охуz.

f ′_x = и f ′_у = , то они могут быть также дифференцируемыми функциями двух переменных х и у.

Принятые обозначения:

= – вторая частная производная по х;

= – вторая частная производная по у;

= и = – смешанные частные производные второго порядка.