Примечания к самой работе

1 - Предложение 29 первой книги Начал – оно формулируется так: < Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрестлежашие углы, равные между собой, и внешний угол, равный внутреннему, противолежащему с той же стороны, и внутренние односторонние углы, > вместе < равные двум прямым. >

2 - Это становится очевидным если вместо одиннадцатой аксиомы использовать доказанное нами (в пояснениях) из неё и обратно утверждение, что через точку не лежащую на прямой проходит только одна прямая параллельная данной.

3 - π это другое обозначение величины угла – два прямых 2∟.

4 – Так, благодаря тому, что сумма углов всех треугольников в Евклидовой геометрии одна и та же, мы, наперёд зная сумму углов всякого треугольника (она равна π) - по двум углам пересечения прямых с некоторой (двум углам треугольника)

рисунок 6

можем определить и их угол пересечения между собой (третий угол треугольника)

рисунок 7

5 - То, что линия D, продолжаясь пересечёт линию B видно из девятой аксиомы – так, линия D не может уже пересечь второй раз линию A. Линию С же она не может пересечь так как ей параллельна (линии C и D пересекают линию A под одинаковыми углами α2=α). Значит, продолжаясь, линия D пересечёт линию В.

6 - И равным ∑∆ - ∟ - α = 2∟ - ∟ - α = ∟ - α

7 – Вообще же конечно Евклидовость может быть задана и через другие аксиомы и построения.

8 – Мы уже доказывали похожую теорему – что если треугольник разделён на два других и его сумма углов равна π то и сумма углов каждого из треугольников его составляющих равна π (и обратно)

9 – Это получается из-за аддитивности дефекта. Так, поскольку, в геометрии Лобачевского сумма углов всякого треугольника меньше двух прямых (у всякого треугольника есть дефект) и дефект треугольника составленного из двух других равен сумме дефектов

рисунок 16

этих треугольников, то мы имеем треугольники с разным дефектом – и значит с разной суммой углов. Таковы, например, треугольник разделённый на два других и один из его составляющих или треугольник заключающий в себе другой треугольник и его заключаемый. (как на рисунке)

рисунок 17.