Определить вид линии, изобразить линию на чертеже и написать формулы преобразования

Задача 30

Исследовать кривую второго порядка g на плоскости R₂ и построить ее. В ответе написать каноническое уравнение кривой и формулы преобразования координат.

РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ Примеров

Пример 1. Поворотом прямоугольной декартовой системы координат привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

5 x² + 8 xy +5 y² - 9= 0. (1)

Определить вид линии, изобразить линию на чертеже и написать формулы преобразования.

Решение.

1) Запишем характеристическое уравнение для данной линии и найдем его корни. Имеем

а ₁₁ =5, а ₁₂=4, а ₂₂ = 5, а ₁₃= 0, а ₂₃ =0, а ₃₃ = -9;

l² - 10l + 9 = 0, l₁ = 1, l₂ = 9.

2) Найдем угол поворота системы координат XOY такой, чтобы a` ₁₂ = 0:

, , ,

3) Найдем коэффициенты :

.

Уравнение линии g в системе координат X ` O ` Y `, O `= O имеет вид

или

. (2)

Это уравнение задает эллипс.

4) Построим систему координат X`O`Y`, полученную поворотом на угол (или на ) системы координат XOY и в X`O`Y` выполним построение эллипса (рис. 1).

Y Y' g X 45º X' Рис. 1

5) Формулы преобразования системы координат XOY имеют вид
(3)

Замечание 1. Уравнение линии в виде (2) из (1) можно получить непосред -ственно, подставляя в (1) формулы преобразования (3). В самом деле,

, ,

. Получаем то же уравнение (2)

Ответ: Эллипс ; см. рис.1;

Пример 2. С помощью переноса начала прямоугольной декартовой системы координат привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

g: 2 x ²- 8 x + 4 y + 9 = 0. (4)

Определить вид линии, изобразить линию на чертеже и написать формулы преобразования системы координат.

Решение.

1) Сгруппируем члены в левой части данного уравнения относительно x и y следующим образом

2(x ² - 2 x 2 + 4) - 8 + 4 y + 9 = 2(x - 2)²+4(y + 1/4) = 0.

2) Введем обозначения

Þ

Совершим параллельный перенос системы координат XOY на вектор .

3) Уравнение данной линии в системе координат X`O`Y` имеет вид или

. (5)

4) Построим систему координат X`O`Y`, полученную переносом на вектор системы координат XOY и в X`O`Y` выполним построение параболы (рис.2) .

Y Y' 0 X 0' X' Рис. 2 g

5) Формулы преобразования системы координат XOY имеют вид

(6)

Как и в примере 1 можно показать, что (5) получается из (4) формулами преобразований (6).

Ответ: Парабола ; см. рис.2;

Пример 3. Поворотом прямоугольной декартовой системы координат и параллельным переносом привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

g: 29 x² + 144 xy + 71 y² - 40 x + 30 y – 50 = 0. (7)

Определить вид линии, изобразить линию на чертеже и написать формулы преобразования системы координат.

Решение. а ₁₁= 29, а ₁₂= 72, а ₂₂= 71, а ₁₃= -20, а ₂₃= 15, а ₃₃ = -50.

1) Найдем корни характеристического уравнения

l² - 100l - 3125 = 0, l₁ = -25, l₂ = 125.

2) Найдем угол поворота системы координат XOY такой, чтобы а` ₁₂= 0:

, Þ , .

3) Найдем коэффициенты :

.

После поворота системы координат XOY на угол уравнение линии g имеет вид или, после деления обеих частей на –25, следующий вид.

(8)

4) Совершим параллельный перенос системы координат X`O`Y`, O` = O. Для этого сделаем следующие преобразования

.

Возьмем новую систему координат X``O``Y`` так, чтобы формулы преобразования имели вид

или (9)

т.е. она получена из системы координат X`O`Y` параллельным переносом на вектор

В системе координат X``O``Y`` уравнение линии g записывается так или

(10)

т.е. линия представляет из себя гиперболу.

5) Построим систему координат X`O`Y`, O` = O, полученную из системы координат XOY поворотом на угол а затем X``O``Y``, полученную из X`O`Y` параллельным переносом на вектор и в X``O``Y`` выполним построение гиперболы (рис.3)

а) Поворот на угол в XOY:

(11)

б) Параллельный перенос в X`O`Y`:

(12)

в) Тогда общие формулы преобразования системы координат, при котором происходит переход от системы координат XOY к X``O``Y`` примут вид:

(13)

или

(14)

Замечание 2. Уравнение линии в виде (10) из (7) можно получить непосредственно, подставляя в (7) формулы преобразования (14). Читателю предоставляем самостоятельно убедиться в этом (см. рассуждения в замечании 1).

Ответ: Гипербола ; см. рис.3;