Точность алгебраических методов

Рассмотрим влияние возмущений матрицы системы и вектора правой части на точность решения. Относительная погрешность решения

,

где – точное решение, в любой согласованной норме подчиняется неравенству

.

Обозначим

.

Величины , являются оценками относительных возмущений матрицы A и вектора b. Число χ есть не что иное, как число обусловленности матрицы A.

Естественно допустить, что

.

Такое неравенство означает, что норма матрицы возмущений существенно меньше нормы исходной матрицы, т. е. предполагается, что прямой метод решения линейной системы устойчив. В этом случае

.

Относительная ошибка решения системы прямым методом может достигать величины, определяемой произведением числа обусловленности и суммы относительных возмущений матрицы системы и вектора правой части. Если число обусловленности велико, то даже при малых эквивалентных возмущениях матрицы и вектора правой части погрешность решения линейной системы оказывается значительной.

Задачи, для которых χ велико, называют плохо обусловленными. Число обусловленности зависит от выбора матричной нормы. Например, для симметричной положительно определенной матрицы A в качестве можно взять ее максимальное собственное число. Тогда число обусловленности

,

где , – максимальное и минимальное собственные числа матрицы.