Теорема шварца о равенстве смешанных производных

Если ф-я z=f(х,у) и ее частные производные f 2штриха от хх, f 2штриха от уу, от ух, ху определены и непрерывны в точке М(х,у) и в некот.ее окрестности, то в этой точке dквадрат f/dxdy= dквадрат f/dydx/

Неявные функции одной и двух переменных, теоремы их существования, дифференцирование неявных функций.

Неявная функция у=ƒ(х) одной переменной задается уравнением F(x;у)=0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x; у; z) и ее производные F'x(x; у; z), F'y(x; у; z), F'z(x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M0(x0;y0;z0), причем F(x0;y0;z0)=0, а F'z(x0;y0;z0)≠0, то существует окрестность точки М0, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z=ƒ(х;у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х0;у0) и такую, что ƒ(х0;у0)=z0.

Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением