Частные производные ФНП. Дифференцируемость ФНП

Функции нескольких переменных (ФНП). Предел ФНП в точке и его свойства. Повторные пределы. Непрерывность ФНП в точке и на множестве.

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие

f, которое каждой паре чисел (х;у) € D сопоставляет

одно и только одно число 2 € Е, называется функцией двух переменных,

Примером функции двух переменных может служить площадь S

прямоугольника

Линию, ограничивающую

область, называют границей области. Точки области, не лежащие

на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних

внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной

к ней границей называется замкнутой.

Свойства

1.Предел суммы (разности) двух функций равен сумме

(разности) их пределов

2.Предел произведения двух функций равен произведению

их пределов

3.Постоянный множитель можно выносить за знак

предела

4.Предел степени с натуральным показателем равен

той же степени предела

5.Предел дроби равен пределу числителя, деленному на

предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю

Частные производные ФНП. Дифференцируемость ФНП.

Частная производная ф-ции в точке по переменной x называется

, если он .

; ;

непрерывна

имеет частные производные в т. А,В непрерывна в т. А,В.

Теорема (достаточное условие диф): Если Z=f(x,y) имеет частные производные в некоторой окрестности т. Po(Xo,Yo), непрерывна в самой точке Po, то она диф. В точке Po(Xo,Yo).

Если Z=f(x,y) дифф. В т. Po(Xo,Yo),, то главная линейная, относительно приращения аргумента, часть его полного приращения называется полным диффиринциалом ф-цииZ=f(x,y) в т. Po

Дифф. сложной ф-ции нескольких переменных.

U=f(x,y,z); x=x(t), y=y(t), z=z(t)

U=f(x(t),y(t),z(t))=F(t)

Теорема: Если ф-цияU=f(x,y,z) дифф. В т. Po(xo,yo,zo) принадл. D(f), а x=x(t), y=y(t), z=z(t)

- дифф. вт. Toприн. D(f), то U=f(x(t),y(t),z(t)) будетдифф. вт. Toприн. D(f), и

;

3. Дифференциал ФНП. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Дифф. сложной ф-ции нескольких переменных.

U=f(x,y,z); x=x(t), y=y(t), z=z(t)

U=f(x(t),y(t),z(t))=F(t)

Теорема: Если ф-цияU=f(x,y,z) дифф. В т. Po(xo,yo,zo) принадл. D(f), а x=x(t), y=y(t), z=z(t)

- дифф. в т. To прин. D(f), то U=f(x(t),y(t),z(t)) будет дифф. в т. To прин. D(f), и

;

;

;

- свойство инвариантности формы первого дифф.