Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






ТЕМА 9. Функции нескольких переменных

Множество всех упорядоченных пар действительных чисел называется координатной плоскостью. Каждая точка на ней характеризуется парой своих координат. Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точками и определено по формуле . Аналогично вводится и понятие евклидова пространства. Каждая точка координатного пространства характеризуется тройкой чисел.

Множество всевозможных упорядочных совокупностей действительных чисел называется -мерным координатным пространством . Координатное пространство называется -мерным евклидовым пространством , если между двумя любыми точками и пространство определено расстояние по формуле .

Пусть задано множество упорядоченных пар чисел . Соответствие , которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только число , называется функцией двух переменных, определенной на множестве со значениями в . Записывают в виде или . Переменная называется однозначной функцией от переменных и , если каждой паре значений и из области их изменения по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение . Переменные и называются независимыми переменными или аргументами.

Областью определения функции называется множество точек плоскости , в которых данная функция определена. Значение функции в точке называют частным значением функции и обозначают или .

Функция двух независимых переменных также имеет геометрическое истолкование. Множество точек пространства с координатами при всех называется графиком функции . Таким образом, каждой точке области в системе координат соответствует точка , где – аппликата точки . Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию . Для наглядного геометрического представления используют линии уровня для функции двух переменных и поверхности уровня для функции трех переменных.

Для функции нескольких переменных вводится понятие предела и непрерывности функции аналогично случаю функции одной переменной.



Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, возможно, самой этой точки. Число называется пределом функции при и , если такое, что и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Предел функции двух переменных обладает свойствами аналогичными свойствам предела функции одной переменной.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, имеет предел и этот предел равен значению функции в точке . Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается, а именно не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва функции могут образовывать целые линии разрыва.

 

Тема 24.

Пусть функция двух переменных определена и непрерывна в некоторой области . Так как и - независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим аргументу приращение , аргументу приращение . Считаем, что точки с координатами , , , также принадлежат области . Тогда функция получит наращенное значение . Величина называются полным приращением функции в точке . Если задать только приращение аргумента или только ,то полученные приращения функции соответственно равные и , называются частными. Полное приращение функции не равно сумме частных: . Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел , вычисленный при постоянном значении аргумента . Аналогично вводится частная производная функции по независимой переменной . Для частных производных справедливы правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде , где и при , . Сумма первых двух слагаемых в равенстве представляет собой главную часть приращения функции. Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции . Для независимых переменных и = , = . Поэтому полный дифференциал функции вычисляется как . Аналогично полный дифференциал функции трех переменных .

Тема 25.

Чтобы функция нескольких переменных была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она обладала частными производными, непрерывными в этой точке.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции): Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные , .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции): Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается как .



Выражение вида называется линеаризацией функции в окрестности точки . Это соотношение применяется в приближенных вычислениях. Дифференцируемую функцию можно заменить линейной функцией в окрестности рассматриваемой точки.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

, ,

, .

Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.

Теорема Шварца: Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

Полный дифференциал функции называют дифференциалом первого порядка. Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, а и - независимые переменные. Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е.

.

Аналогично дифференциал третьего порядка функции двух переменных выражается

.

Дифференциалы высших порядков, очевидно, определяются как

Для функций нескольких переменных имеет место инвариантность формы первого дифференциала: полный дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

 

Тема 26.

Пусть - функция двух переменных и в некоторой области , а аргументы и являются дифференцируемыми функциями некоторой переменной : , .

В этом случае функция является сложной функцией одной независимой переменной . Переменные и являются промежуточными переменными.

Теорема: Если - дифференцируемая в точке функция и , - дифференцируемые функции независимые переменной , то производная сложной функции вычисляется по формуле .

В частном случае, если совпадает с одним из аргументов, например , функция - сложная функция одной независимой переменной . Формула носит название формулы полной производной.

В общем случае, производная сложной функции по каждой независимой переменной равна сумме произведений частных производных этой функции по ее промежуточным переменным на их производные по соответствующей независимой переменной.

Функция называется неявной функцией переменных и , если она определяется уравнением , неразрешенным относительно . Имеет место следующая теорема.

Теорема: Если функция дифференцируема по переменным , , в некоторой области и , то уравнение определяет однозначную неявную функцию , также дифференцируемую, причем и .

Уравнение не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других.

Теорема о существовании неявной функции двух переменных: Если функция и её производные , , определены и непрерывны в некоторой окрестности точки , причём , а , то существует окрестность точки , в которой уравнение определяет единственную функцию , непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки такую, что .

Пусть - фиксированная точка на некоторой поверхности , заданной функций или уравнением . Касательные в точке определяют некоторую плоскость, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.

 

Тема 27.

Частные производные и представляют собой производные от функции по двум частным направлениям осей и . Пусть дифференцируемая функция в некоторой области , а - некоторое направление, вектор с началом в точке . Производной по направлению функции двух переменных называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при :

или , где , - направляющие косинусы.

характеризует скорость изменения функции в направлении : если , то функция возрастает в данном направлении.

По аналогии можно определить производную по направлению для функции трех переменных.

Градиентом функции называется вектор, координатами которого являются значения частных производных функции в точке :

или

Градиент функции есть векторная величина и указывает направление наибыстрейшего возрастания функции.

 


<== предыдущая | следующая ==>
Облік процесу продаж, формування та розподілу результатів господарювання | Импульстің сақталу заңдары





Date: 2015-07-27; view: 129; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.027 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию