Формула вычисления значения кривизны кривой в точке в прямоугольных координатах

Теорема 1. Пусть на отрезке задана дважды дифференцируемая функция . Тогда кривизна в любой точке графика вычисляется по формуле

(2.3)

Доказательство. Согласно формуле (2.2) кривизна вычисляется по правилу . Вычислим

дифференциалы . Из определения производной функции следует . Вычисляя дифференциал , получаем

Формула дифференциала длины дуги графика получена нами ранее (см. гл.4. формула (4.7))

. Отсюда, применяя формулу (2.2)получаем формулу вычисления кривизны в точке(4)

Замечание. Если кривая задаётся параметрическими уравнениями ,то кривизна в точке кривой вычисляется по формуле

(2.4)

Контрольные вопросы.

1. Как определяется средняя кривизна дуги кривой на плоскости?

2. Сформулируйте определение кривизны кривой на плоскости в точке в зависимости от способа задания кривой?

3. У какой кривой средняя кривизна и кривизна в точке совпадают?

Далее предлагаются упражнения по данной теме для самостоятельной работы. В разделе ответы и решения приведены решения упражнений и ответы.

Упражнение1.4 Используя калькулятор н айти радиус кривизны данных кривых в соответствующих точках