Исследование функции и построение эскиза её графика. Кривизна графика в точке

Глава 5.

Тема2.

Для наглядного описания функции часто используют её графическое представление. Как правило, такое представление бывает полезно для обсуждения качественных вопросов поведения исследуемой функции. Например: где функция пересекает ось ОХ, ось ОУ; на каких интервалах она возрастает и на каких убывает; есть ли у неё локальные экстремумы; каково направление выпуклости графика; имеются ли разрывы графика; какова асимптотика и так далее. Для точных расчетов графики функций используются редко. Однако бывает очень полезно изучить график перед проведением точных расчётов, так как из графического поведения функции видно какие алгоритмы и вблизи каких точек графика применять наиболее целесообразно. Для построения графика дифференцируемой функции используют алгоритмы дифференциального исчисления. Рекомендуемый порядок исследования функции и построения её графика приведён ниже.

1)Указать область определения функции .

2) Указать нули функции, если это возможно.

3)Отметить конкретные особенности: чётность, периодичность.

5)Найти промежутки монотонности функции и указать её локальные экстремумы.

6)Уточнить характер выпуклости графика и указать точки перегиба графика.

7)Выяснить асимптотическое поведение функции: с указанием уравнений

вертикальных и наклонных асимптот.

8) Отметить характерные точки графика, например, точки пересечения графика функции с осью ОУ, если они есть и их возможно вычислить. Очень полезно вычислить две, три конкретные точки графика функции.