Определение ускорения точки

Ускорение точки характеризует изменение ее скорости в рассматриваемой системе отсчета с течением времени.

4.4.1. Векторный способ. Пусть за время D t точка переместилась из положения M, где она имела скорость , в положение , где ее скорость стала равной (рис. 4.5). Вектор скорости получил приращение . Средним ускорением точки за интервал времени D t называют отношение . Предел среднего ускорения

(4.12)

называют ускорением точки в данный момент времени или просто ускорением точки.

Таким образом, ускорение точки – это мера изменения ее скорости, равная производной по времени от скорости точки в рассматриваемой системе отсчета. Так как Вектор среднего ускорения лежит в плоскости, образуемой векторами и . При уменьшении D t точка приближается к точке М, и плоскость векторов изменяет свое положение в пространстве, поворачиваясь вокруг вектора . Предельное положение этой плоскости называют соприкасающейся плоскостью кривой в точке М (см. рис. 4.2, плоскость М t n). Следовательно, вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 4.5).

Единица измерения ускорения в системе СИ – .

4.4.2. Координатный способ. Представим вектор скорости в виде . Тогда, учитывая неизменность ортов , в соответствии с формулой (4.12) получим ускорение

и его проекции:

. (4.13)

По проекциям ускорения определим его модуль

(4.14)

и направляющие косинусы:

. (4.15)

4.4.3. Естественный способ. Представим вектор скорости в виде (4.11) , тогда из формулы (4.12) получим

. (4.16)

Определим модуль и направление вектора , для чего рассмотрим два случая.

Случай 1. Точка М движется в сторону увеличения координаты S (рис. 4.6,а). За время D t она перемещается из положения М в положение , при этом ее координата увеличивается на величину D S, а вектор получает приращение , направленное в сторону вогнутости траектории. Вектор направлен перпендикулярно вектору в сторону вогнутости траектории и лежит в соприкасающейся плоскости. Вектор имеет такое же направление, так как координата S возрастает, при этом .

Случай 2. Точка М движется в сторону уменьшения координаты S (рис. 4.6,б). Вектор , а вместе с ним и вектор , направлены в сторону выпуклости траектории. Вектор имеет противоположное направление, так как . Таким образом, вектор всегда направлен по главной нормали к траектории в сторону вогнутости и может быть представлен в виде:

. (4.17)

Определим модуль вектора . Учитывая, что равнобедренный (см. рис. 4.6,а) и , получим

. (4.18)

Из формул (4.17) и (4.18) следует

.

откуда, учитывая, что , где k – кривизна, а ρ – радиус кривизны траектории в данной точке, получим

. (4.19)

Подставим (4.19) в (4.16)

. (4.20)

Таким образом, вектор ускорения имеет две составляющие: касательную и нормальную.

Касательное ускорение

(4.21)

направлено по касательной к траектории в сторону увеличения координаты S, если алгебраическая скорость точки возрастает, или в сторону уменьшения S, если убывает. Проекция касательного ускорения на ось t:

. (4.22)

Нормальное ускорение

(4.23)

всегда направлено по нормали к траектории в сторону вогнутости, его проекция на ось n:

. 4.24)

Так как ^ (рис. 4.7), модуль вектора ускорения находим по формуле

. (4.25)

Касательное ускорение характеризует изменение скорости точки по модулю, а нормальное – по направлению.

Касательное ускорение равно нулю:

1) если точка движется с постоянной алгебраической скоростью;

2) в те моменты времени, когда скорость принимает экстремальные значения.

Нормальное ускорение равно нулю:

1) при прямолинейном движении (r = ¥);

2) в точках перегиба траектории (r = ¥);

3) в те моменты времени, когда скорость точки равна нулю.