Определение скорости точки

Скорость точки характеризует изменение ее положения в рассматриваемой системе отсчета с течением времени.

4.3.1. Векторный способ. Пусть за время D t точка переместилась из положения M в положение и ее радиус-вектор изменился на величину (рис. 4.3). Тогда средней скоростью точки за интервал времени D t будет отношение

.

этот вектор направлен по хорде и зависит от величины интервала времени D t.

Предел средней скорости

(4.5)

называют скоростью точки в данный момент времени или просто скоростью точки. В уравнении (4.5) переменная с точкой над ней обозначает производную по времени.

Итак, скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора точки в рассматриваемой системе отсчета. При стремлении D t к нулю точка приближается к точке M, и хорда в пределе занимает положение касательной к траектории. Таким образом, вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

Единица измерения скорости в системе СИ – 1 м/с.

4.3.2. Координатный способ. Пусть движение точки задано координатным способом (4.2), тогда ее радиус-вектор . Учитывая, что орты постоянны, из уравнения (4.5) получим

.

Таким образом, запишем проекции вектора скорости на координатные оси:

. (4.6)

По этим проекциям можно определить модуль вектора скорости

(4.7)

и его направляющие косинусы, т.е. косинусы углов между вектором скорости и положительными направлениями координатных осей:

. (4.8)

4.3.3. Естественный способ. Пусть точка движется по известной траектории, и ее положение определяется криволинейной координатой S (рис. 4.4). Предположим, что за время D t радиус-вектор точки получил приращение , а координата S – приращение D S. Определим скорость точки

. (4.9)

Рассмотрим вектор . Его модуль равен пределу отношения длины хорды к длине стягиваемой ею дуги:

.

Направление вектора совпадает с направлением при движении точки в сторону увеличения координаты S (D S > 0) и противоположно при движении в противоположную сторону (D S < 0). Таким образом, вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону увеличения координаты S, т.е. он является единичным вектором касательной к траектории точки

. (4.10)

На основании этого из уравнения (4.9) получим

. (4.11)

Скалярную величину называют алгебраической скоростью точки. Она представляет собой проекцию вектора скорости на касательную к траектории. Знак алгебраической скорости определяет направление движения точки: при > 0 она движется в сторону увеличения координаты S, при < 0 – в противоположную сторону. Модуль вектора скорости .