РГР №4 Основы алгебры логики

Поскольку в цифровых устройствах используются только два символа 0 и 1, алгебра логики использует логические переменные и функции от них, которые также принимают только два значения - 0 и 1. В логике символы 0 и 1 не цифры. Единица обозначает абсолютную истину, символ 0 - абсолютную ложь. Основы алгебры логики придумал в середине XIX века ирландский математик Дж. Буль, поэтому алгебра логики иногда называется булева алгебра.

В отличие от обычной математики, в алгебре логики операции сложения и умножения заменяют операцией логического умножения (конъюнкция), и операцией логического сложения (дизъюнкция). Для обозначения операций сложения и умножения используют специальные символы: - логическое сложение, - логическое умножение.

Операция логического сложения обозначается союзом "ИЛИ" Выражение означает "или a или b". т. е. если и a, и b равно нулю, то и результат равен нулю. Результат равен единице, если хотя бы одна из переменных равна единице. Результат также будет единицей, если обе переменных равны единице.

Логическое умножение обозначается союзом "И. Выражение означает "a и b", т. е. если a и b равны нулю, то и результат равен нулю. Если одна из переменных равна единице, другая нулю, то результат все равно равен нулю. Результат равен единице, если обе переменных равны единице.

Вывод: для логического сложения результат равен нулю только при совпадении нулей, для логического умножения результат равен единице только при совпадении единиц.

Есть еще понятие отрицания, обозначаемое "НЕ". Обозначается отрицание чертой над обозначением переменной или символом, стоящим перед переменной. Например, ā означает отрицание a. По-другому это отрицание называется инверсией. То есть, если a = 1, то ā = 0 и наоборот. Отрицание может быть не только одной переменной, но и целого выражения.

Понятие двоичной переменной, логических операций И, ИЛИ, НЕ образуют систему аксиом алгебры логики.

Аналогично обычной алгебре, в булевой действительны свойства перестановки, сочетательности и распределительности:

Помимо этих есть и другие, свойственные только алгебре логики, законы:

Законы одинарных элементов

Законы отрицания (правила де Моргана)

Распределительность дизъюнкции

Правила поглощения

Эти правила и законы позволяют значительно упростить логические уравнения и функции.

Схема "И"

Двухвходовый логический элемент "И" обозначается вот так:

Такая табличка называется таблицей истинности логического элемента. Она поясняет, как работает элемент, т. е. какой сигнал на его выходе при определенных сигналах на входе. Таблицы истинности присуще всем цифровым устройствам. В этой таблице символы x1 и x2 означают входные сигналы, y - выходные. Причем входы принято обозначать слева (это касается любых устройств), выходы - справа. Переменная х с индексом 1 обозначает младший разряд, x2 - старший. Судя по таблице, единица будет на выходе только тогда, когда на обоих входах будут единицы. Символ & говорит о том, что это элемент "И".

Схема "ИЛИ"

Логический элемент "ИЛИ" обозначается так:

То есть, единица на выходе тогда, когда хотя бы на одном из входов присутствует единица. Символ 1 говорит о том, что это элемент "ИЛИ".

Схема "НЕ"

Логический элемент "НЕ", который иначе называется инвертор, обозначается так:

О том, что это инвертор, говорит кружок на выходе элемента. В электронике принято кружком обозначать инверсию сигнала, т. е. переворот фазы на 180 градусов.