Развертки поверхностей многогранников

Содержание

1. Развертываемые и неразвертываемые поверхности 3

2. Развертки поверхностей многогранников 3

3. Развертки цилиндрических и конических поверхностей 6

Литература 9

Развертываемые и неразвертываемые поверхности

Развертываемыми поверхностями называются поверхности, которые могут быть совмещены с плоскостью без их растяжения или сжатия. Кривые поверхности могут быть развертываемыми в том случае, если их смежные прямолинейные образующие взаимно параллельны или пересекаются. Примерами развертываемых поверхностей могут служить коническая и цилиндрическая поверхность.

Все кривые нелинейчатые поверхности и те из линейчатых, которые не могут быть развернуты, называются неразвертываемыми поверхностями.

Развертки поверхностей многогранников

Разверткой поверхности многогранника называется плоская фигура, полученная при совмещении всех его граней с плоскостью одной из них.

В качестве примера ниже рассмотрены развертки призмы и пирамиды.

Развертка боковой поверхности призмы представляет собой треугольники, имеющие общие стороны. Каждый треугольник может быть представлен по трем его сторонам. Поэтому для построения развертки необходимо определить натуральные величины ребер боковых граней пирамиды и ее основания (Рис.1).

Рис. 1

Так как в данном примере все ребра боковой поверхности пирамиды разной длины и представляют прямые общего положения, то сначала следует определить их истинные размеры, а затем построить саму развертку. Натуральная величина ребер боковой поверхности пирамиды построена методом прямоугольного треугольника на фронтальной плоскости проекций. Натуральные величины ребер основания определяет их горизонтальная проекция. Построение развертки начинаем с построения натуральной величины ребра AS боковой поверхности, из точки A, строим дугу, радиусом, равным длине ребра AB основания пирамиды, из точки S строим дугу, радиус которой равен натуральной величине ребра SB, боковой поверхности пирамиды, на пересечении которых получаем точки B. Получаем грань ASB боковой поверхности, аналогично строим грани BSC и CSA и основание пирамиды ABC. Линии сгиба развертки проводим штрихпунктирной линией с двумя штрихами, наружные линии – основной, сплошной линией.

Построение разверток призм имеет следующие особенности: боковые грани призмы представляют собой четырех угольники и не могут быть построены по четырем сторонам. Эти грани могут быть построены следующими способами:

1. Определить кроме сторон еще и натуральную величину высоты каждого из четырехугольников, для этого удобно использовать нормальное сечение призмы.

2. Разбить каждый из четырехугольников на два треугольника.

На рис. 2 изображена наклонная призма, ребра которой параллельны плоскости V, вследствие чего проецируются на эту плоскость без искажений.

Сечение призмы плоскостью P, является нормальным сечением. Определим истинную величину сечения методом плоско-параллельного перемещения. Отрезок 1'2'3' переместим в положение параллельно оси 0X, не меняя его величины. При этом сечение 123 перемесится в пространстве параллельно плоскости V, не изменяя своих координат X и не меняя своего наклона к плоскости V. При этом горизонтальные проекции точек 1, 2, 3, перемещаются параллельно 0X до пересечения с вертикальными лилиями связей, проведенными из новых фронтальных проекций точек 1₁'2₁'3₁'. Получаем истинную величину сечения – треугольник 1₁2₁3₁. Развертка нормального сечения представляет собой отрезок прямой линии, на котором отмечены отрезки 12, 23 и 31 представляющие собой натуральные величины сторон сечения.

Рис. 2 '

Проводим через эти точки линии перпендикулярные прямой 1-1 и откладываем от точек 1, 2, 3 отрезки равные соответствующим ребрам призмы, после чего соединяют полученные точки прямыми. Далее пристраивают к одному из ребер граней призмы фигуру нижнего основания, а к верхнему ребру призмы – фигуру верхнего основания, натуральную величину которого можно определить на горизонтальной проекции призмы.